Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118659 / 119279
↖ ↑ ↗
← S 81.301262°
E145.906677°		 ← 46.19 m → S 81.301262°
E145.909424°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.301678°
E145.906677°		 ← 46.19 m →
2 134 m²		 S 81.301678°
E145.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905300140380859 y=0.910030364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905300140380859 × 217)
    floor (0.905300140380859 × 131072)
    floor (118659.5)     		tx = 118659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910030364990234 × 217)
    floor (0.910030364990234 × 131072)
    floor (119279.5)     		ty = 119279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118659 / 119279 ti = "17/118659/119279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118659/119279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118659 ÷ 217
    118659 ÷ 131072     		x = 0.905296325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119279 ÷ 217
    119279 ÷ 131072     		y = 0.910026550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905296325683594 × 2 - 1) × π
    0.810592651367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.54655192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910026550292969 × 2 - 1) × π
    -0.820053100585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.57627279628068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54655192} λ = 2.54655192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57627279628068))-π/2
    2×atan(0.0760569561550218)-π/2
    2×0.075910808510685-π/2
    0.15182161702137-1.57079632675     		φ = -1.41897471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54655192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.906677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41897471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.301262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118659 KachelY 119279 2.54655192 -1.41897471 145.906677 -81.301262
    Oben rechts KachelX + 1 118660 KachelY 119279 2.54659986 -1.41897471 145.909424 -81.301262
    Unten links KachelX 118659 KachelY + 1 119280 2.54655192 -1.41898196 145.906677 -81.301678
    Unten rechts KachelX + 1 118660 KachelY + 1 119280 2.54659986 -1.41898196 145.909424 -81.301678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41897471--1.41898196) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41897471--1.41898196) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54655192-2.54659986) × cos(-1.41897471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151239045540053 × 6371000     		do = 46.1922974009342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54655192-2.54659986) × cos(-1.41898196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151231878931244 × 6371000     		du = 46.1901085341353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41897471)-sin(-1.41898196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151239045540053-0.151231878931244)×R²
    abs(2.54659986-2.54655192)×7.16660880917264e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16660880917264e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16660880917264e-06×40589641000000     		ar = 2133.56011729988m²