Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118658 / 119174
↖ ↑ ↗
← S 81.257537°
E145.903931°		 ← 46.42 m → S 81.257537°
E145.906677°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
S 81.257955°
E145.903931°		 ← 46.42 m →
2 156 m²		 S 81.257955°
E145.906677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905292510986328 y=0.909229278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905292510986328 × 217)
    floor (0.905292510986328 × 131072)
    floor (118658.5)     		tx = 118658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909229278564453 × 217)
    floor (0.909229278564453 × 131072)
    floor (119174.5)     		ty = 119174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118658 / 119174 ti = "17/118658/119174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118658/119174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118658 ÷ 217
    118658 ÷ 131072     		x = 0.905288696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119174 ÷ 217
    119174 ÷ 131072     		y = 0.909225463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905288696289062 × 2 - 1) × π
    0.810577392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54650398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909225463867188 × 2 - 1) × π
    -0.818450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57123942182057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54650398} λ = 2.54650398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57123942182057))-π/2
    2×atan(0.076440744360253)-π/2
    2×0.076292378307596-π/2
    0.152584756615192-1.57079632675     		φ = -1.41821157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54650398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.903931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41821157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.257537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118658 KachelY 119174 2.54650398 -1.41821157 145.903931 -81.257537
    Oben rechts KachelX + 1 118659 KachelY 119174 2.54655192 -1.41821157 145.906677 -81.257537
    Unten links KachelX 118658 KachelY + 1 119175 2.54650398 -1.41821886 145.903931 -81.257955
    Unten rechts KachelX + 1 118659 KachelY + 1 119175 2.54655192 -1.41821886 145.906677 -81.257955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41821157--1.41821886) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dl = 46.4445900006636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41821157--1.41821886) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dr = 46.4445900006636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54650398-2.54655192) × cos(-1.41821157) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.151993363194709 × 6371000     		do = 46.4226854292322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54650398-2.54655192) × cos(-1.41821886) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.151986157889432 × 6371000     		du = 46.420484743536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41821157)-sin(-1.41821886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151993363194709-0.151986157889432)×R²
    abs(2.54655192-2.54650398)×7.20530527709151e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.20530527709151e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.20530527709151e-06×40589641000000     		ar = 2156.03148649466m²