Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118656 / 119167
↖ ↑ ↗
← S 81.254615°
E145.898438°		 ← 46.43 m → S 81.254615°
E145.901184°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
S 81.255032°
E145.898438°		 ← 46.43 m →
2 156 m²		 S 81.255032°
E145.901184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905277252197266 y=0.909175872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905277252197266 × 217)
    floor (0.905277252197266 × 131072)
    floor (118656.5)     		tx = 118656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909175872802734 × 217)
    floor (0.909175872802734 × 131072)
    floor (119167.5)     		ty = 119167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118656 / 119167 ti = "17/118656/119167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118656/119167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118656 ÷ 217
    118656 ÷ 131072     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119167 ÷ 217
    119167 ÷ 131072     		y = 0.909172058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909172058105469 × 2 - 1) × π
    -0.818344116210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.57090386352323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57090386352323))-π/2
    2×atan(0.0764663989903493)-π/2
    2×0.0763178838539815-π/2
    0.152635767707963-1.57079632675     		φ = -1.41816056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41816056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.254615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118656 KachelY 119167 2.54640811 -1.41816056 145.898438 -81.254615
    Oben rechts KachelX + 1 118657 KachelY 119167 2.54645604 -1.41816056 145.901184 -81.254615
    Unten links KachelX 118656 KachelY + 1 119168 2.54640811 -1.41816785 145.898438 -81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 118657 KachelY + 1 119168 2.54645604 -1.41816785 145.901184 -81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41816056--1.41816785) × R
    7.28999999988211e-06 × 6371000     		dl = 46.4445899992489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41816056--1.41816785) × R
    7.28999999988211e-06 × 6371000     		dr = 46.4445899992489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54645604) × cos(-1.41816056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152043780337979 × 6371000     		do = 46.4283974129079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54645604) × cos(-1.41816785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 46.4261972035235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41816056)-sin(-1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152043780337979-0.152036575089231)×R²
    abs(2.54645604-2.54640811)×7.20524874814332e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.20524874814332e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.20524874814332e-06×40589641000000     		ar = 2156.29678815587m²