Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118645 / 119325
↖ ↑ ↗
← S 81.320349°
E145.868225°		 ← 46.09 m → S 81.320349°
E145.870972°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.320764°
E145.868225°		 ← 46.09 m →
2 126 m²		 S 81.320764°
E145.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905193328857422 y=0.910381317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905193328857422 × 217)
    floor (0.905193328857422 × 131072)
    floor (118645.5)     		tx = 118645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910381317138672 × 217)
    floor (0.910381317138672 × 131072)
    floor (119325.5)     		ty = 119325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118645 / 119325 ti = "17/118645/119325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118645/119325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118645 ÷ 217
    118645 ÷ 131072     		x = 0.905189514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119325 ÷ 217
    119325 ÷ 131072     		y = 0.910377502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905189514160156 × 2 - 1) × π
    0.810379028320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.54588080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910377502441406 × 2 - 1) × π
    -0.820755004882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.5784778936632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54588080} λ = 2.54588080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5784778936632))-π/2
    2×atan(0.0758894279359836)-π/2
    2×0.0757442417032987-π/2
    0.151488483406597-1.57079632675     		φ = -1.41930784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54588080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.868225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41930784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.320349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118645 KachelY 119325 2.54588080 -1.41930784 145.868225 -81.320349
    Oben rechts KachelX + 1 118646 KachelY 119325 2.54592874 -1.41930784 145.870972 -81.320349
    Unten links KachelX 118645 KachelY + 1 119326 2.54588080 -1.41931508 145.868225 -81.320764
    Unten rechts KachelX + 1 118646 KachelY + 1 119326 2.54592874 -1.41931508 145.870972 -81.320764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41930784--1.41931508) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41930784--1.41931508) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54588080-2.54592874) × cos(-1.41930784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150909739075803 × 6371000     		do = 46.0917187304038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54588080-2.54592874) × cos(-1.41931508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		du = 46.0895327714477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41930784)-sin(-1.41931508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150909739075803-0.150902581987615)×R²
    abs(2.54592874-2.54588080)×7.15708818790906e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15708818790906e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15708818790906e-06×40589641000000     		ar = 2125.97804693841m²