Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118645 / 119321
↖ ↑ ↗
← S 81.318691°
E145.868225°		 ← 46.10 m → S 81.318691°
E145.870972°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.319106°
E145.868225°		 ← 46.10 m →
2 126 m²		 S 81.319106°
E145.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905193328857422 y=0.910350799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905193328857422 × 217)
    floor (0.905193328857422 × 131072)
    floor (118645.5)     		tx = 118645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910350799560547 × 217)
    floor (0.910350799560547 × 131072)
    floor (119321.5)     		ty = 119321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118645 / 119321 ti = "17/118645/119321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118645/119321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118645 ÷ 217
    118645 ÷ 131072     		x = 0.905189514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119321 ÷ 217
    119321 ÷ 131072     		y = 0.910346984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905189514160156 × 2 - 1) × π
    0.810379028320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.54588080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910346984863281 × 2 - 1) × π
    -0.820693969726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57828614606472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54588080} λ = 2.54588080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57828614606472))-π/2
    2×atan(0.0759039809467482)-π/2
    2×0.0757587113643336-π/2
    0.151517422728667-1.57079632675     		φ = -1.41927890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54588080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.868225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41927890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.318691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118645 KachelY 119321 2.54588080 -1.41927890 145.868225 -81.318691
    Oben rechts KachelX + 1 118646 KachelY 119321 2.54592874 -1.41927890 145.870972 -81.318691
    Unten links KachelX 118645 KachelY + 1 119322 2.54588080 -1.41928614 145.868225 -81.319106
    Unten rechts KachelX + 1 118646 KachelY + 1 119322 2.54592874 -1.41928614 145.870972 -81.319106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41927890--1.41928614) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dl = 46.1260400011849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41927890--1.41928614) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dr = 46.1260400011849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54588080-2.54592874) × cos(-1.41927890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150938347578584 × 6371000     		do = 46.1004565035361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54588080-2.54592874) × cos(-1.41928614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150931190522018 × 6371000     		du = 46.0982705542381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41927890)-sin(-1.41928614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150938347578584-0.150931190522018)×R²
    abs(2.54592874-2.54588080)×7.1570565664536e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1570565664536e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1570565664536e-06×40589641000000     		ar = 2126.38108598621m²