Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118644 / 119324
↖ ↑ ↗
← S 81.319935°
E145.865479°		 ← 46.08 m → S 81.319935°
E145.868225°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
S 81.320349°
E145.865479°		 ← 46.08 m →
2 123 m²		 S 81.320349°
E145.868225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905185699462891 y=0.910373687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905185699462891 × 217)
    floor (0.905185699462891 × 131072)
    floor (118644.5)     		tx = 118644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910373687744141 × 217)
    floor (0.910373687744141 × 131072)
    floor (119324.5)     		ty = 119324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118644 / 119324 ti = "17/118644/119324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118644/119324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118644 ÷ 217
    118644 ÷ 131072     		x = 0.905181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119324 ÷ 217
    119324 ÷ 131072     		y = 0.910369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905181884765625 × 2 - 1) × π
    0.81036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54583287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.82073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57842995676358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54583287} λ = 2.54583287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57842995676358))-π/2
    2×atan(0.0758930659270691)-π/2
    2×0.0757478588614293-π/2
    0.151495717722859-1.57079632675     		φ = -1.41930061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54583287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.865479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41930061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.319935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118644 KachelY 119324 2.54583287 -1.41930061 145.865479 -81.319935
    Oben rechts KachelX + 1 118645 KachelY 119324 2.54588080 -1.41930061 145.868225 -81.319935
    Unten links KachelX 118644 KachelY + 1 119325 2.54583287 -1.41930784 145.865479 -81.320349
    Unten rechts KachelX + 1 118645 KachelY + 1 119325 2.54588080 -1.41930784 145.868225 -81.320349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41930061--1.41930784) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41930061--1.41930784) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54583287-2.54588080) × cos(-1.41930061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150916886270616 × 6371000     		do = 46.0842867529026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54583287-2.54588080) × cos(-1.41930784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150909739075803 × 6371000     		du = 46.0821042709857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41930061)-sin(-1.41930784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150916886270616-0.150909739075803)×R²
    abs(2.54588080-2.54583287)×7.14719481312298e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.14719481312298e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.14719481312298e-06×40589641000000     		ar = 2122.69935914821m²