Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118640 / 120337
↖ ↑ ↗
← S 81.729907°
E145.854492°		 ← 43.92 m → S 81.729907°
E145.857239°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
S 81.730302°
E145.854492°		 ← 43.92 m →
1 928 m²		 S 81.730302°
E145.857239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905155181884766 y=0.918102264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905155181884766 × 217)
    floor (0.905155181884766 × 131072)
    floor (118640.5)     		tx = 118640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918102264404297 × 217)
    floor (0.918102264404297 × 131072)
    floor (120337.5)     		ty = 120337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118640 / 120337 ti = "17/118640/120337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118640/120337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118640 ÷ 217
    118640 ÷ 131072     		x = 0.9051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120337 ÷ 217
    120337 ÷ 131072     		y = 0.918098449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9051513671875 × 2 - 1) × π
    0.810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54564112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918098449707031 × 2 - 1) × π
    -0.836196899414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.6269900360787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54564112} λ = 2.54564112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6269900360787))-π/2
    2×atan(0.0722957426486605)-π/2
    2×0.0721701807409042-π/2
    0.144340361481808-1.57079632675     		φ = -1.42645597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54564112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42645597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.729907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118640 KachelY 120337 2.54564112 -1.42645597 145.854492 -81.729907
    Oben rechts KachelX + 1 118641 KachelY 120337 2.54568905 -1.42645597 145.857239 -81.729907
    Unten links KachelX 118640 KachelY + 1 120338 2.54564112 -1.42646286 145.854492 -81.730302
    Unten rechts KachelX + 1 118641 KachelY + 1 120338 2.54568905 -1.42646286 145.857239 -81.730302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42645597--1.42646286) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42645597--1.42646286) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54564112-2.54568905) × cos(-1.42645597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143839677474211 × 6371000     		do = 43.9231759080972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54564112-2.54568905) × cos(-1.42646286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143832859119879 × 6371000     		du = 43.9210938415771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42645597)-sin(-1.42646286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143839677474211-0.143832859119879)×R²
    abs(2.54568905-2.54564112)×6.81835433199995e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.81835433199995e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.81835433199995e-06×40589641000000     		ar = 1928.01437786112m²