Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118634 / 119282
↖ ↑ ↗
← S 81.302508°
E145.838013°		 ← 46.18 m → S 81.302508°
E145.840759°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.302924°
E145.838013°		 ← 46.17 m →
2 133 m²		 S 81.302924°
E145.840759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905109405517578 y=0.910053253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905109405517578 × 217)
    floor (0.905109405517578 × 131072)
    floor (118634.5)     		tx = 118634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910053253173828 × 217)
    floor (0.910053253173828 × 131072)
    floor (119282.5)     		ty = 119282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118634 / 119282 ti = "17/118634/119282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118634/119282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118634 ÷ 217
    118634 ÷ 131072     		x = 0.905105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119282 ÷ 217
    119282 ÷ 131072     		y = 0.910049438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905105590820312 × 2 - 1) × π
    0.810211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54535350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910049438476562 × 2 - 1) × π
    -0.820098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57641660697954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54535350} λ = 2.54535350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57641660697954))-π/2
    2×atan(0.0760460191374529)-π/2
    2×0.0758999343871846-π/2
    0.151799868774369-1.57079632675     		φ = -1.41899646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54535350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41899646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.302508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118634 KachelY 119282 2.54535350 -1.41899646 145.838013 -81.302508
    Oben rechts KachelX + 1 118635 KachelY 119282 2.54540143 -1.41899646 145.840759 -81.302508
    Unten links KachelX 118634 KachelY + 1 119283 2.54535350 -1.41900371 145.838013 -81.302924
    Unten rechts KachelX + 1 118635 KachelY + 1 119283 2.54540143 -1.41900371 145.840759 -81.302924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41899646--1.41900371) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41899646--1.41900371) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54535350-2.54540143) × cos(-1.41899646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151217545689779 × 6371000     		do = 46.1760967234768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54535350-2.54540143) × cos(-1.41900371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151210379057123 × 6371000     		du = 46.1739083059809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41899646)-sin(-1.41900371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151217545689779-0.151210379057123)×R²
    abs(2.54540143-2.54535350)×7.16663265540318e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.16663265540318e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.16663265540318e-06×40589641000000     		ar = 2132.81182247485m²