Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118633 / 119225
↖ ↑ ↗
← S 81.278802°
E145.835266°		 ← 46.31 m → S 81.278802°
E145.838013°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.279219°
E145.835266°		 ← 46.31 m →
2 145 m²		 S 81.279219°
E145.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905101776123047 y=0.909618377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905101776123047 × 217)
    floor (0.905101776123047 × 131072)
    floor (118633.5)     		tx = 118633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909618377685547 × 217)
    floor (0.909618377685547 × 131072)
    floor (119225.5)     		ty = 119225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118633 / 119225 ti = "17/118633/119225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118633/119225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118633 ÷ 217
    118633 ÷ 131072     		x = 0.905097961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119225 ÷ 217
    119225 ÷ 131072     		y = 0.909614562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905097961425781 × 2 - 1) × π
    0.810195922851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.54530556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909614562988281 × 2 - 1) × π
    -0.819229125976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57368420370119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54530556} λ = 2.54530556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57368420370119))-π/2
    2×atan(0.0762540916690265)-π/2
    2×0.0761068072969994-π/2
    0.152213614593999-1.57079632675     		φ = -1.41858271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54530556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.835266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41858271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.278802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118633 KachelY 119225 2.54530556 -1.41858271 145.835266 -81.278802
    Oben rechts KachelX + 1 118634 KachelY 119225 2.54535350 -1.41858271 145.838013 -81.278802
    Unten links KachelX 118633 KachelY + 1 119226 2.54530556 -1.41858998 145.835266 -81.279219
    Unten rechts KachelX + 1 118634 KachelY + 1 119226 2.54535350 -1.41858998 145.838013 -81.279219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41858271--1.41858998) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41858271--1.41858998) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54530556-2.54535350) × cos(-1.41858271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151626524819807 × 6371000     		do = 46.3106435466877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54530556-2.54535350) × cos(-1.41858998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151619338872581 × 6371000     		du = 46.3084487734384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41858271)-sin(-1.41858998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151626524819807-0.151619338872581)×R²
    abs(2.54535350-2.54530556)×7.18594722662336e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18594722662336e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18594722662336e-06×40589641000000     		ar = 2144.9271221308m²