Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118632 / 119271
↖ ↑ ↗
← S 81.297938°
E145.832519°		 ← 46.21 m → S 81.297938°
E145.835266°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.298354°
E145.832519°		 ← 46.21 m →
2 134 m²		 S 81.298354°
E145.835266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905094146728516 y=0.909969329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905094146728516 × 217)
    floor (0.905094146728516 × 131072)
    floor (118632.5)     		tx = 118632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909969329833984 × 217)
    floor (0.909969329833984 × 131072)
    floor (119271.5)     		ty = 119271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118632 / 119271 ti = "17/118632/119271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118632/119271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118632 ÷ 217
    118632 ÷ 131072     		x = 0.90509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119271 ÷ 217
    119271 ÷ 131072     		y = 0.909965515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90509033203125 × 2 - 1) × π
    0.8101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54525762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909965515136719 × 2 - 1) × π
    -0.819931030273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.57588930108372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54525762} λ = 2.54525762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57588930108372))-π/2
    2×atan(0.0760861292259114)-π/2
    2×0.0759398137318498-π/2
    0.1518796274637-1.57079632675     		φ = -1.41891670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54525762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41891670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.297938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118632 KachelY 119271 2.54525762 -1.41891670 145.832519 -81.297938
    Oben rechts KachelX + 1 118633 KachelY 119271 2.54530556 -1.41891670 145.835266 -81.297938
    Unten links KachelX 118632 KachelY + 1 119272 2.54525762 -1.41892395 145.832519 -81.298354
    Unten rechts KachelX + 1 118633 KachelY + 1 119272 2.54530556 -1.41892395 145.835266 -81.298354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41891670--1.41892395) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41891670--1.41892395) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54525762-2.54530556) × cos(-1.41891670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151296388009198 × 6371000     		do = 46.2098112670062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54525762-2.54530556) × cos(-1.41892395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151289221464006 × 6371000     		du = 46.2076224196378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41891670)-sin(-1.41892395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151296388009198-0.151289221464006)×R²
    abs(2.54530556-2.54525762)×7.16654519164472e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16654519164472e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16654519164472e-06×40589641000000     		ar = 2134.36907881033m²