Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118629 / 119272
↖ ↑ ↗
← S 81.298354°
E145.824280°		 ← 46.21 m → S 81.298354°
E145.827026°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.298769°
E145.824280°		 ← 46.21 m →
2 134 m²		 S 81.298769°
E145.827026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905071258544922 y=0.909976959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905071258544922 × 217)
    floor (0.905071258544922 × 131072)
    floor (118629.5)     		tx = 118629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909976959228516 × 217)
    floor (0.909976959228516 × 131072)
    floor (119272.5)     		ty = 119272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118629 / 119272 ti = "17/118629/119272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118629/119272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118629 ÷ 217
    118629 ÷ 131072     		x = 0.905067443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119272 ÷ 217
    119272 ÷ 131072     		y = 0.90997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905067443847656 × 2 - 1) × π
    0.810134887695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.54511381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.8199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57593723798334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54511381} λ = 2.54511381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57593723798334))-π/2
    2×atan(0.0760824819801917)-π/2
    2×0.0759361874778674-π/2
    0.151872374955735-1.57079632675     		φ = -1.41892395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54511381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.824280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41892395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.298354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118629 KachelY 119272 2.54511381 -1.41892395 145.824280 -81.298354
    Oben rechts KachelX + 1 118630 KachelY 119272 2.54516175 -1.41892395 145.827026 -81.298354
    Unten links KachelX 118629 KachelY + 1 119273 2.54511381 -1.41893120 145.824280 -81.298769
    Unten rechts KachelX + 1 118630 KachelY + 1 119273 2.54516175 -1.41893120 145.827026 -81.298769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41892395--1.41893120) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41892395--1.41893120) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54511381-2.54516175) × cos(-1.41892395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151289221464006 × 6371000     		do = 46.2076224196378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54511381-2.54516175) × cos(-1.41893120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151282054910862 × 6371000     		du = 46.2054335698405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41892395)-sin(-1.41893120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151289221464006-0.151282054910862)×R²
    abs(2.54516175-2.54511381)×7.16655314397796e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16655314397796e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16655314397796e-06×40589641000000     		ar = 2134.26797630937m²