Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118624 / 120289
↖ ↑ ↗
← S 81.710922°
E145.810547°		 ← 44.02 m → S 81.710922°
E145.813293°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
S 81.711318°
E145.810547°		 ← 44.02 m →
1 938 m²		 S 81.711318°
E145.813293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905033111572266 y=0.917736053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905033111572266 × 217)
    floor (0.905033111572266 × 131072)
    floor (118624.5)     		tx = 118624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917736053466797 × 217)
    floor (0.917736053466797 × 131072)
    floor (120289.5)     		ty = 120289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118624 / 120289 ti = "17/118624/120289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118624/120289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118624 ÷ 217
    118624 ÷ 131072     		x = 0.905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120289 ÷ 217
    120289 ÷ 131072     		y = 0.917732238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54487413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917732238769531 × 2 - 1) × π
    -0.835464477539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.62468906489693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54487413} λ = 2.54487413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62468906489693))-π/2
    2×atan(0.0724622845996949)-π/2
    2×0.0723358547714391-π/2
    0.144671709542878-1.57079632675     		φ = -1.42612462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54487413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42612462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.710922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118624 KachelY 120289 2.54487413 -1.42612462 145.810547 -81.710922
    Oben rechts KachelX + 1 118625 KachelY 120289 2.54492206 -1.42612462 145.813293 -81.710922
    Unten links KachelX 118624 KachelY + 1 120290 2.54487413 -1.42613153 145.810547 -81.711318
    Unten rechts KachelX + 1 118625 KachelY + 1 120290 2.54492206 -1.42613153 145.813293 -81.711318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42612462--1.42613153) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42612462--1.42613153) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54487413-2.54492206) × cos(-1.42612462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144167573864615 × 6371000     		do = 44.0233030155008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54487413-2.54492206) × cos(-1.42613153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14416073604795 × 6371000     		du = 44.0212150059232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42612462)-sin(-1.42613153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144167573864615-0.14416073604795)×R²
    abs(2.54492206-2.54487413)×6.83781666482863e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.83781666482863e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.83781666482863e-06×40589641000000     		ar = 1938.01876192866m²