Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11862 / 14183
↖ ↑ ↗
← N 23.493477°
W 49.680176°		 ← 1 120.37 m → N 23.493477°
W 49.669189°		 →
↑
1 120.40 m
↓
↑
1 120.40 m
↓
N 23.483401°
W 49.680176°		 ← 1 120.46 m →
1 255 317 m²		 N 23.483401°
W 49.669189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362014770507812 y=0.432846069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362014770507812 × 215)
    floor (0.362014770507812 × 32768)
    floor (11862.5)     		tx = 11862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432846069335938 × 215)
    floor (0.432846069335938 × 32768)
    floor (14183.5)     		ty = 14183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11862 / 14183 ti = "15/11862/14183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11862/14183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11862 ÷ 215
    11862 ÷ 32768     		x = 0.36199951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14183 ÷ 215
    14183 ÷ 32768     		y = 0.432830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432830810546875 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.422036464254974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86708264} λ = -0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422036464254974))-π/2
    2×atan(1.52506413399683)-π/2
    2×0.990417423629022-π/2
    1.98083484725804-1.57079632675     		φ = 0.41003852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41003852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.493477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11862 KachelY 14183 -0.86708264 0.41003852 -49.680176 23.493477
    Oben rechts KachelX + 1 11863 KachelY 14183 -0.86689089 0.41003852 -49.669189 23.493477
    Unten links KachelX 11862 KachelY + 1 14184 -0.86708264 0.40986266 -49.680176 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 11863 KachelY + 1 14184 -0.86689089 0.40986266 -49.669189 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41003852-0.40986266) × R
    0.000175860000000028 × 6371000     		dl = 1120.40406000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41003852-0.40986266) × R
    0.000175860000000028 × 6371000     		dr = 1120.40406000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86708264--0.86689089) × cos(0.41003852) × R
    0.000191750000000046 × 0.917105467704887 × 6371000     		do = 1120.37203573817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86708264--0.86689089) × cos(0.40986266) × R
    0.000191750000000046 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 1120.45766222554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41003852)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917105467704887-0.917175559172046)×R²
    abs(-0.86689089--0.86708264)×7.00914671580843e-05×R²
    0.000191750000000046×7.00914671580843e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.00914671580843e-05×40589641000000     		ar = 1255317.34891915m²