Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118618 / 119150
↖ ↑ ↗
← S 81.247512°
E145.794068°		 ← 46.47 m → S 81.247512°
E145.796814°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.247931°
E145.794068°		 ← 46.46 m →
2 161 m²		 S 81.247931°
E145.796814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904987335205078 y=0.909046173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904987335205078 × 217)
    floor (0.904987335205078 × 131072)
    floor (118618.5)     		tx = 118618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909046173095703 × 217)
    floor (0.909046173095703 × 131072)
    floor (119150.5)     		ty = 119150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118618 / 119150 ti = "17/118618/119150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118618/119150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118618 ÷ 217
    118618 ÷ 131072     		x = 0.904983520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119150 ÷ 217
    119150 ÷ 131072     		y = 0.909042358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904983520507812 × 2 - 1) × π
    0.809967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54458651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909042358398438 × 2 - 1) × π
    -0.818084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57008893622969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54458651} λ = 2.54458651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57008893622969))-π/2
    2×atan(0.07652873894374)-π/2
    2×0.0763798611239266-π/2
    0.152759722247853-1.57079632675     		φ = -1.41803660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54458651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.794068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41803660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.247512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118618 KachelY 119150 2.54458651 -1.41803660 145.794068 -81.247512
    Oben rechts KachelX + 1 118619 KachelY 119150 2.54463444 -1.41803660 145.796814 -81.247512
    Unten links KachelX 118618 KachelY + 1 119151 2.54458651 -1.41804390 145.794068 -81.247931
    Unten rechts KachelX + 1 118619 KachelY + 1 119151 2.54463444 -1.41804390 145.796814 -81.247931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41803660--1.41804390) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41803660--1.41804390) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54458651-2.54463444) × cos(-1.41803660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152166297980759 × 6371000     		do = 46.465809649018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54458651-2.54463444) × cos(-1.41804390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1521590829859 × 6371000     		du = 46.4636064635414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41803660)-sin(-1.41804390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152166297980759-0.1521590829859)×R²
    abs(2.54463444-2.54458651)×7.21499485920041e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.21499485920041e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.21499485920041e-06×40589641000000     		ar = 2160.99458170638m²