Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118616 / 119144
↖ ↑ ↗
← S 81.245005°
E145.788574°		 ← 46.49 m → S 81.245005°
E145.791321°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.245423°
E145.788574°		 ← 46.49 m →
2 162 m²		 S 81.245423°
E145.791321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904972076416016 y=0.909000396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904972076416016 × 217)
    floor (0.904972076416016 × 131072)
    floor (118616.5)     		tx = 118616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909000396728516 × 217)
    floor (0.909000396728516 × 131072)
    floor (119144.5)     		ty = 119144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118616 / 119144 ti = "17/118616/119144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118616/119144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118616 ÷ 217
    118616 ÷ 131072     		x = 0.90496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119144 ÷ 217
    119144 ÷ 131072     		y = 0.90899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90496826171875 × 2 - 1) × π
    0.8099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54449063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.8179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56980131483197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54449063} λ = 2.54449063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56980131483197))-π/2
    2×atan(0.0765507534123651)-π/2
    2×0.076401747375606-π/2
    0.152803494751212-1.57079632675     		φ = -1.41799283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54449063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41799283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.245005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118616 KachelY 119144 2.54449063 -1.41799283 145.788574 -81.245005
    Oben rechts KachelX + 1 118617 KachelY 119144 2.54453857 -1.41799283 145.791321 -81.245005
    Unten links KachelX 118616 KachelY + 1 119145 2.54449063 -1.41800013 145.788574 -81.245423
    Unten rechts KachelX + 1 118617 KachelY + 1 119145 2.54453857 -1.41800013 145.791321 -81.245423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41799283--1.41800013) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41799283--1.41800013) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54449063-2.54453857) × cos(-1.41799283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152209558129166 × 6371000     		do = 46.488716926643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54449063-2.54453857) × cos(-1.41800013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152202343182933 × 6371000     		du = 46.4865132963507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41799283)-sin(-1.41800013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152209558129166-0.152202343182933)×R²
    abs(2.54453857-2.54449063)×7.21494623309726e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21494623309726e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21494623309726e-06×40589641000000     		ar = 2162.05994971524m²