Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118608 / 119152
↖ ↑ ↗
← S 81.248348°
E145.766602°		 ← 46.46 m → S 81.248348°
E145.769348°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.248767°
E145.766602°		 ← 46.46 m →
2 161 m²		 S 81.248767°
E145.769348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904911041259766 y=0.909061431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904911041259766 × 217)
    floor (0.904911041259766 × 131072)
    floor (118608.5)     		tx = 118608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909061431884766 × 217)
    floor (0.909061431884766 × 131072)
    floor (119152.5)     		ty = 119152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118608 / 119152 ti = "17/118608/119152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118608/119152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118608 ÷ 217
    118608 ÷ 131072     		x = 0.9049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119152 ÷ 217
    119152 ÷ 131072     		y = 0.9090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9049072265625 × 2 - 1) × π
    0.809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54410714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57018481002893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54410714} λ = 2.54410714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57018481002893))-π/2
    2×atan(0.076521402194493)-π/2
    2×0.0763725670891775-π/2
    0.152745134178355-1.57079632675     		φ = -1.41805119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54410714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41805119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.248348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118608 KachelY 119152 2.54410714 -1.41805119 145.766602 -81.248348
    Oben rechts KachelX + 1 118609 KachelY 119152 2.54415507 -1.41805119 145.769348 -81.248348
    Unten links KachelX 118608 KachelY + 1 119153 2.54410714 -1.41805849 145.766602 -81.248767
    Unten rechts KachelX + 1 118609 KachelY + 1 119153 2.54415507 -1.41805849 145.769348 -81.248767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41805119--1.41805849) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41805119--1.41805849) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54410714-2.54415507) × cos(-1.41805119) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152151877866504 × 6371000     		do = 46.4614062936561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54410714-2.54415507) × cos(-1.41805849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152144662855439 × 6371000     		du = 46.4592031032309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41805119)-sin(-1.41805849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152151877866504-0.152144662855439)×R²
    abs(2.54415507-2.54410714)×7.21501106482059e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.21501106482059e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.21501106482059e-06×40589641000000     		ar = 2160.78978899367m²