Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118605 / 119229
↖ ↑ ↗
← S 81.280468°
E145.758362°		 ← 46.29 m → S 81.280468°
E145.761108°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.280884°
E145.758362°		 ← 46.29 m →
2 144 m²		 S 81.280884°
E145.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904888153076172 y=0.909648895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904888153076172 × 217)
    floor (0.904888153076172 × 131072)
    floor (118605.5)     		tx = 118605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909648895263672 × 217)
    floor (0.909648895263672 × 131072)
    floor (119229.5)     		ty = 119229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118605 / 119229 ti = "17/118605/119229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118605/119229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118605 ÷ 217
    118605 ÷ 131072     		x = 0.904884338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119229 ÷ 217
    119229 ÷ 131072     		y = 0.909645080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904884338378906 × 2 - 1) × π
    0.809768676757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.54396333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909645080566406 × 2 - 1) × π
    -0.819290161132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.57387595129968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54396333} λ = 2.54396333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57387595129968))-π/2
    2×atan(0.0762394715318075)-π/2
    2×0.076092271663727-π/2
    0.152184543327454-1.57079632675     		φ = -1.41861178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54396333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.758362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41861178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.280468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118605 KachelY 119229 2.54396333 -1.41861178 145.758362 -81.280468
    Oben rechts KachelX + 1 118606 KachelY 119229 2.54401126 -1.41861178 145.761108 -81.280468
    Unten links KachelX 118605 KachelY + 1 119230 2.54396333 -1.41861905 145.758362 -81.280884
    Unten rechts KachelX + 1 118606 KachelY + 1 119230 2.54401126 -1.41861905 145.761108 -81.280884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41861178--1.41861905) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41861178--1.41861905) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54396333-2.54401126) × cos(-1.41861178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151597790867244 × 6371000     		do = 46.2922091627654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54396333-2.54401126) × cos(-1.41861905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151590604887977 × 6371000     		du = 46.2900148375488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41861178)-sin(-1.41861905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151597790867244-0.151590604887977)×R²
    abs(2.54401126-2.54396333)×7.18597926741005e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.18597926741005e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.18597926741005e-06×40589641000000     		ar = 2144.07330389591m²