Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118604 / 119227
↖ ↑ ↗
← S 81.279635°
E145.755615°		 ← 46.31 m → S 81.279635°
E145.758362°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.280052°
E145.755615°		 ← 46.30 m →
2 145 m²		 S 81.280052°
E145.758362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904880523681641 y=0.909633636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904880523681641 × 217)
    floor (0.904880523681641 × 131072)
    floor (118604.5)     		tx = 118604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909633636474609 × 217)
    floor (0.909633636474609 × 131072)
    floor (119227.5)     		ty = 119227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118604 / 119227 ti = "17/118604/119227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118604/119227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118604 ÷ 217
    118604 ÷ 131072     		x = 0.904876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119227 ÷ 217
    119227 ÷ 131072     		y = 0.909629821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904876708984375 × 2 - 1) × π
    0.80975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54391539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909629821777344 × 2 - 1) × π
    -0.819259643554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.57378007750044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54391539} λ = 2.54391539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57378007750044))-π/2
    2×atan(0.0762467812499949)-π/2
    2×0.076099539135994-π/2
    0.152199078271988-1.57079632675     		φ = -1.41859725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54391539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41859725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.279635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118604 KachelY 119227 2.54391539 -1.41859725 145.755615 -81.279635
    Oben rechts KachelX + 1 118605 KachelY 119227 2.54396333 -1.41859725 145.758362 -81.279635
    Unten links KachelX 118604 KachelY + 1 119228 2.54391539 -1.41860452 145.755615 -81.280052
    Unten rechts KachelX + 1 118605 KachelY + 1 119228 2.54396333 -1.41860452 145.758362 -81.280052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41859725--1.41860452) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41859725--1.41860452) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54391539-2.54396333) × cos(-1.41859725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151612152917341 × 6371000     		do = 46.3062539977416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54391539-2.54396333) × cos(-1.41860452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151604966954087 × 6371000     		du = 46.3040592195973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41859725)-sin(-1.41860452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151612152917341-0.151604966954087)×R²
    abs(2.54396333-2.54391539)×7.18596325327558e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18596325327558e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18596325327558e-06×40589641000000     		ar = 2144.72381059925m²