Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118604 / 119181
↖ ↑ ↗
← S 81.260459°
E145.755615°		 ← 46.41 m → S 81.260459°
E145.758362°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
S 81.260877°
E145.755615°		 ← 46.41 m →
2 155 m²		 S 81.260877°
E145.758362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904880523681641 y=0.909282684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904880523681641 × 217)
    floor (0.904880523681641 × 131072)
    floor (118604.5)     		tx = 118604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909282684326172 × 217)
    floor (0.909282684326172 × 131072)
    floor (119181.5)     		ty = 119181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118604 / 119181 ti = "17/118604/119181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118604/119181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118604 ÷ 217
    118604 ÷ 131072     		x = 0.904876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119181 ÷ 217
    119181 ÷ 131072     		y = 0.909278869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904876708984375 × 2 - 1) × π
    0.80975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54391539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909278869628906 × 2 - 1) × π
    -0.818557739257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.57157498011791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54391539} λ = 2.54391539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57157498011791))-π/2
    2×atan(0.0764150983373366)-π/2
    2×0.0762668812189676-π/2
    0.152533762437935-1.57079632675     		φ = -1.41826256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54391539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41826256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.260459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118604 KachelY 119181 2.54391539 -1.41826256 145.755615 -81.260459
    Oben rechts KachelX + 1 118605 KachelY 119181 2.54396333 -1.41826256 145.758362 -81.260459
    Unten links KachelX 118604 KachelY + 1 119182 2.54391539 -1.41826985 145.755615 -81.260877
    Unten rechts KachelX + 1 118605 KachelY + 1 119182 2.54396333 -1.41826985 145.758362 -81.260877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41826256--1.41826985) × R
    7.28999999988211e-06 × 6371000     		dl = 46.4445899992489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41826256--1.41826985) × R
    7.28999999988211e-06 × 6371000     		dr = 46.4445899992489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54391539-2.54396333) × cos(-1.41826256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151942965423733 × 6371000     		do = 46.4072926523077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54391539-2.54396333) × cos(-1.41826985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151935760061969 × 6371000     		du = 46.4050919493587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41826256)-sin(-1.41826985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151942965423733-0.151935760061969)×R²
    abs(2.54396333-2.54391539)×7.20536176468389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.20536176468389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.20536176468389e-06×40589641000000     		ar = 2155.31657479711m²