Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11860 / 14184
↖ ↑ ↗
← N 23.483401°
W 49.702149°		 ← 1 120.46 m → N 23.483401°
W 49.691162°		 →
↑
1 120.47 m
↓
↑
1 120.47 m
↓
N 23.473324°
W 49.702149°		 ← 1 120.54 m →
1 255 485 m²		 N 23.473324°
W 49.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361953735351562 y=0.432876586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361953735351562 × 215)
    floor (0.361953735351562 × 32768)
    floor (11860.5)     		tx = 11860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432876586914062 × 215)
    floor (0.432876586914062 × 32768)
    floor (14184.5)     		ty = 14184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11860 / 14184 ti = "15/11860/14184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11860/14184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11860 ÷ 215
    11860 ÷ 32768     		x = 0.3619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14184 ÷ 215
    14184 ÷ 32768     		y = 0.432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86746614} λ = -0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421844716656494))-π/2
    2×atan(1.52477173464594)-π/2
    2×0.990329493883406-π/2
    1.98065898776681-1.57079632675     		φ = 0.40986266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40986266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.483401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11860 KachelY 14184 -0.86746614 0.40986266 -49.702149 23.483401
    Oben rechts KachelX + 1 11861 KachelY 14184 -0.86727439 0.40986266 -49.691162 23.483401
    Unten links KachelX 11860 KachelY + 1 14185 -0.86746614 0.40968679 -49.702149 23.473324
    Unten rechts KachelX + 1 11861 KachelY + 1 14185 -0.86727439 0.40968679 -49.691162 23.473324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40986266-0.40968679) × R
    0.000175869999999967 × 6371000     		dl = 1120.46776999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40986266-0.40968679) × R
    0.000175869999999967 × 6371000     		dr = 1120.46776999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86746614--0.86727439) × cos(0.40986266) × R
    0.000191750000000046 × 0.917175559172046 × 6371000     		do = 1120.45766222554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86746614--0.86727439) × cos(0.40968679) × R
    0.000191750000000046 × 0.917245626257175 × 6371000     		du = 1120.54325892686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40986266)-sin(0.40968679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917175559172046-0.917245626257175)×R²
    abs(-0.86727439--0.86746614)×7.0067085129133e-05×R²
    0.000191750000000046×7.0067085129133e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.0067085129133e-05×40589641000000     		ar = 1255484.65558153m²