Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118582 / 119207
↖ ↑ ↗
← S 81.271303°
E145.695191°		 ← 46.34 m → S 81.271303°
E145.697937°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.271720°
E145.695191°		 ← 46.34 m →
2 149 m²		 S 81.271720°
E145.697937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904712677001953 y=0.909481048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904712677001953 × 217)
    floor (0.904712677001953 × 131072)
    floor (118582.5)     		tx = 118582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909481048583984 × 217)
    floor (0.909481048583984 × 131072)
    floor (119207.5)     		ty = 119207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118582 / 119207 ti = "17/118582/119207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118582/119207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118582 ÷ 217
    118582 ÷ 131072     		x = 0.904708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119207 ÷ 217
    119207 ÷ 131072     		y = 0.909477233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904708862304688 × 2 - 1) × π
    0.809417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54286078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909477233886719 × 2 - 1) × π
    -0.818954467773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.57282133950803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54286078} λ = 2.54286078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57282133950803))-π/2
    2×atan(0.0763199169893815)-π/2
    2×0.0761722517497894-π/2
    0.152344503499579-1.57079632675     		φ = -1.41845182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54286078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.695191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41845182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.271303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118582 KachelY 119207 2.54286078 -1.41845182 145.695191 -81.271303
    Oben rechts KachelX + 1 118583 KachelY 119207 2.54290871 -1.41845182 145.697937 -81.271303
    Unten links KachelX 118582 KachelY + 1 119208 2.54286078 -1.41845910 145.695191 -81.271720
    Unten rechts KachelX + 1 118583 KachelY + 1 119208 2.54290871 -1.41845910 145.697937 -81.271720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41845182--1.41845910) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41845182--1.41845910) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54286078-2.54290871) × cos(-1.41845182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151755900151681 × 6371000     		do = 46.3404897348231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54286078-2.54290871) × cos(-1.41845910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151748704464605 × 6371000     		du = 46.3382924452103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41845182)-sin(-1.41845910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151755900151681-0.151748704464605)×R²
    abs(2.54290871-2.54286078)×7.19568707618912e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.19568707618912e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.19568707618912e-06×40589641000000     		ar = 2149.26173751041m²