Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118574 / 119202
↖ ↑ ↗
← S 81.269219°
E145.673218°		 ← 46.36 m → S 81.269219°
E145.675964°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.269635°
E145.673218°		 ← 46.36 m →
2 147 m²		 S 81.269635°
E145.675964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904651641845703 y=0.909442901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904651641845703 × 217)
    floor (0.904651641845703 × 131072)
    floor (118574.5)     		tx = 118574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909442901611328 × 217)
    floor (0.909442901611328 × 131072)
    floor (119202.5)     		ty = 119202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118574 / 119202 ti = "17/118574/119202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118574/119202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118574 ÷ 217
    118574 ÷ 131072     		x = 0.904647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119202 ÷ 217
    119202 ÷ 131072     		y = 0.909439086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904647827148438 × 2 - 1) × π
    0.809295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54247728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.818878173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57258165500993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54247728} λ = 2.54247728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57258165500993))-π/2
    2×atan(0.0763382118827938)-π/2
    2×0.0761904406722458-π/2
    0.152380881344492-1.57079632675     		φ = -1.41841545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54247728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41841545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.269219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118574 KachelY 119202 2.54247728 -1.41841545 145.673218 -81.269219
    Oben rechts KachelX + 1 118575 KachelY 119202 2.54252522 -1.41841545 145.675964 -81.269219
    Unten links KachelX 118574 KachelY + 1 119203 2.54247728 -1.41842272 145.673218 -81.269635
    Unten rechts KachelX + 1 118575 KachelY + 1 119203 2.54252522 -1.41842272 145.675964 -81.269635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41841545--1.41842272) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41841545--1.41842272) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54247728-2.54252522) × cos(-1.41841545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151791848814038 × 6371000     		do = 46.3611377499654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54247728-2.54252522) × cos(-1.41842272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151784663051283 × 6371000     		du = 46.3589430330583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41841545)-sin(-1.41842272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151791848814038-0.151784663051283)×R²
    abs(2.54252522-2.54247728)×7.18576275562932e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18576275562932e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18576275562932e-06×40589641000000     		ar = 2147.2658720748m²