Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118572 / 119164
↖ ↑ ↗
← S 81.253362°
E145.667725°		 ← 46.44 m → S 81.253362°
E145.670471°		 →
↑
46.44 m
↓
↑
46.44 m
↓
S 81.253779°
E145.667725°		 ← 46.44 m →
2 157 m²		 S 81.253779°
E145.670471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904636383056641 y=0.909152984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904636383056641 × 217)
    floor (0.904636383056641 × 131072)
    floor (118572.5)     		tx = 118572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909152984619141 × 217)
    floor (0.909152984619141 × 131072)
    floor (119164.5)     		ty = 119164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118572 / 119164 ti = "17/118572/119164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118572/119164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118572 ÷ 217
    118572 ÷ 131072     		x = 0.904632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119164 ÷ 217
    119164 ÷ 131072     		y = 0.909149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904632568359375 × 2 - 1) × π
    0.80926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54238141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.81829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57076005282437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54238141} λ = 2.54238141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57076005282437))-π/2
    2×atan(0.0764773964673859)-π/2
    2×0.0763288173922206-π/2
    0.152657634784441-1.57079632675     		φ = -1.41813869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54238141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.667725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41813869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.253362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118572 KachelY 119164 2.54238141 -1.41813869 145.667725 -81.253362
    Oben rechts KachelX + 1 118573 KachelY 119164 2.54242935 -1.41813869 145.670471 -81.253362
    Unten links KachelX 118572 KachelY + 1 119165 2.54238141 -1.41814598 145.667725 -81.253779
    Unten rechts KachelX + 1 118573 KachelY + 1 119165 2.54242935 -1.41814598 145.670471 -81.253779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41813869--1.41814598) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dl = 46.4445900006636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41813869--1.41814598) × R
    7.29000000010416e-06 × 6371000     		dr = 46.4445900006636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54238141-2.54242935) × cos(-1.41813869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152065396035741 × 6371000     		do = 46.4446861125789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54238141-2.54242935) × cos(-1.41814598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152058190811235 × 6371000     		du = 46.4424854515522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41813869)-sin(-1.41814598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152065396035741-0.152058190811235)×R²
    abs(2.54242935-2.54238141)×7.20522450650685e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.20522450650685e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.20522450650685e-06×40589641000000     		ar = 2157.05329982411m²