Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118570 / 119194
↖ ↑ ↗
← S 81.265883°
E145.662231°		 ← 46.38 m → S 81.265883°
E145.664978°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.266300°
E145.662231°		 ← 46.38 m →
2 151 m²		 S 81.266300°
E145.664978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904621124267578 y=0.909381866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904621124267578 × 217)
    floor (0.904621124267578 × 131072)
    floor (118570.5)     		tx = 118570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909381866455078 × 217)
    floor (0.909381866455078 × 131072)
    floor (119194.5)     		ty = 119194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118570 / 119194 ti = "17/118570/119194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118570/119194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118570 ÷ 217
    118570 ÷ 131072     		x = 0.904617309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119194 ÷ 217
    119194 ÷ 131072     		y = 0.909378051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904617309570312 × 2 - 1) × π
    0.809234619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54228553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909378051757812 × 2 - 1) × π
    -0.818756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57219815981297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54228553} λ = 2.54228553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57219815981297))-π/2
    2×atan(0.0763674928345887)-π/2
    2×0.0762195519125507-π/2
    0.152439103825101-1.57079632675     		φ = -1.41835722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54228553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.662231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41835722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.265883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118570 KachelY 119194 2.54228553 -1.41835722 145.662231 -81.265883
    Oben rechts KachelX + 1 118571 KachelY 119194 2.54233347 -1.41835722 145.664978 -81.265883
    Unten links KachelX 118570 KachelY + 1 119195 2.54228553 -1.41836450 145.662231 -81.266300
    Unten rechts KachelX + 1 118571 KachelY + 1 119195 2.54233347 -1.41836450 145.664978 -81.266300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41835722--1.41836450) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41835722--1.41836450) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54228553-2.54233347) × cos(-1.41835722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151849403815492 × 6371000     		do = 46.3787165288749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54228553-2.54233347) × cos(-1.41836450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151842208232958 × 6371000     		du = 46.3765188127547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41835722)-sin(-1.41836450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151849403815492-0.151842208232958)×R²
    abs(2.54233347-2.54228553)×7.19558253398089e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.19558253398089e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.19558253398089e-06×40589641000000     		ar = 2151.03471995403m²