Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118564 / 119188
↖ ↑ ↗
← S 81.263380°
E145.645752°		 ← 46.39 m → S 81.263380°
E145.648499°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.263797°
E145.645752°		 ← 46.39 m →
2 152 m²		 S 81.263797°
E145.648499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904575347900391 y=0.909336090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904575347900391 × 217)
    floor (0.904575347900391 × 131072)
    floor (118564.5)     		tx = 118564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909336090087891 × 217)
    floor (0.909336090087891 × 131072)
    floor (119188.5)     		ty = 119188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118564 / 119188 ti = "17/118564/119188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118564/119188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118564 ÷ 217
    118564 ÷ 131072     		x = 0.904571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119188 ÷ 217
    119188 ÷ 131072     		y = 0.909332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904571533203125 × 2 - 1) × π
    0.80914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54199791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.81866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57191053841525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54199791} λ = 2.54199791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57191053841525))-π/2
    2×atan(0.0763894609187123)-π/2
    2×0.0762413925853579-π/2
    0.152482785170716-1.57079632675     		φ = -1.41831354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54199791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41831354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.263380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118564 KachelY 119188 2.54199791 -1.41831354 145.645752 -81.263380
    Oben rechts KachelX + 1 118565 KachelY 119188 2.54204585 -1.41831354 145.648499 -81.263380
    Unten links KachelX 118564 KachelY + 1 119189 2.54199791 -1.41832082 145.645752 -81.263797
    Unten rechts KachelX + 1 118565 KachelY + 1 119189 2.54204585 -1.41832082 145.648499 -81.263797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41831354--1.41832082) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41831354--1.41832082) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54199791-2.54204585) × cos(-1.41831354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151892577141679 × 6371000     		do = 46.3919027739741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54199791-2.54204585) × cos(-1.41832082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151885381607438 × 6371000     		du = 46.3897050726036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41831354)-sin(-1.41832082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151892577141679-0.151885381607438)×R²
    abs(2.54204585-2.54199791)×7.19553424161079e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.19553424161079e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.19553424161079e-06×40589641000000     		ar = 2151.64631002243m²