Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118558 / 119190
↖ ↑ ↗
← S 81.264214°
E145.629272°		 ← 46.39 m → S 81.264214°
E145.632019°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.264631°
E145.629272°		 ← 46.39 m →
2 151 m²		 S 81.264631°
E145.632019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904529571533203 y=0.909351348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904529571533203 × 217)
    floor (0.904529571533203 × 131072)
    floor (118558.5)     		tx = 118558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909351348876953 × 217)
    floor (0.909351348876953 × 131072)
    floor (119190.5)     		ty = 119190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118558 / 119190 ti = "17/118558/119190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118558/119190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118558 ÷ 217
    118558 ÷ 131072     		x = 0.904525756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119190 ÷ 217
    119190 ÷ 131072     		y = 0.909347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904525756835938 × 2 - 1) × π
    0.809051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54171029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909347534179688 × 2 - 1) × π
    -0.818695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57200641221449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54171029} λ = 2.54171029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57200641221449))-π/2
    2×atan(0.0763821375219386)-π/2
    2×0.0762341116711918-π/2
    0.152468223342384-1.57079632675     		φ = -1.41832810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54171029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.629272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41832810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.264214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118558 KachelY 119190 2.54171029 -1.41832810 145.629272 -81.264214
    Oben rechts KachelX + 1 118559 KachelY 119190 2.54175823 -1.41832810 145.632019 -81.264214
    Unten links KachelX 118558 KachelY + 1 119191 2.54171029 -1.41833538 145.629272 -81.264631
    Unten rechts KachelX + 1 118559 KachelY + 1 119191 2.54175823 -1.41833538 145.632019 -81.264631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41832810--1.41833538) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41832810--1.41833538) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54171029-2.54175823) × cos(-1.41832810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151878186065146 × 6371000     		do = 46.3875073687745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54171029-2.54175823) × cos(-1.41833538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151870990514806 × 6371000     		du = 46.3853096624871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41832810)-sin(-1.41833538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151878186065146-0.151870990514806)×R²
    abs(2.54175823-2.54171029)×7.1955503406218e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1955503406218e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1955503406218e-06×40589641000000     		ar = 2151.44244717038m²