Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118556 / 119204
↖ ↑ ↗
← S 81.270053°
E145.623779°		 ← 46.35 m → S 81.270053°
E145.626526°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.270469°
E145.623779°		 ← 46.34 m →
2 147 m²		 S 81.270469°
E145.626526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904514312744141 y=0.909458160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904514312744141 × 217)
    floor (0.904514312744141 × 131072)
    floor (118556.5)     		tx = 118556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909458160400391 × 217)
    floor (0.909458160400391 × 131072)
    floor (119204.5)     		ty = 119204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118556 / 119204 ti = "17/118556/119204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118556/119204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118556 ÷ 217
    118556 ÷ 131072     		x = 0.904510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119204 ÷ 217
    119204 ÷ 131072     		y = 0.909454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904510498046875 × 2 - 1) × π
    0.80902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54161442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.81890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57267752880917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54161442} λ = 2.54161442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57267752880917))-π/2
    2×atan(0.0763308933992244)-π/2
    2×0.0761831645861675-π/2
    0.152366329172335-1.57079632675     		φ = -1.41843000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54161442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41843000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.270053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118556 KachelY 119204 2.54161442 -1.41843000 145.623779 -81.270053
    Oben rechts KachelX + 1 118557 KachelY 119204 2.54166235 -1.41843000 145.626526 -81.270053
    Unten links KachelX 118556 KachelY + 1 119205 2.54161442 -1.41843727 145.623779 -81.270469
    Unten rechts KachelX + 1 118557 KachelY + 1 119205 2.54166235 -1.41843727 145.626526 -81.270469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41843000--1.41843727) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41843000--1.41843727) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54161442-2.54166235) × cos(-1.41843000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151777467396358 × 6371000     		do = 46.347075552439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54161442-2.54166235) × cos(-1.41843727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151770281617547 × 6371000     		du = 46.3448812884342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41843000)-sin(-1.41843727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151777467396358-0.151770281617547)×R²
    abs(2.54166235-2.54161442)×7.18577881081428e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.18577881081428e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.18577881081428e-06×40589641000000     		ar = 2146.61456123767m²