Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118555 / 119182
↖ ↑ ↗
← S 81.260877°
E145.621033°		 ← 46.41 m → S 81.260877°
E145.623779°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.261294°
E145.621033°		 ← 46.40 m →
2 152 m²		 S 81.261294°
E145.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904506683349609 y=0.909290313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904506683349609 × 217)
    floor (0.904506683349609 × 131072)
    floor (118555.5)     		tx = 118555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909290313720703 × 217)
    floor (0.909290313720703 × 131072)
    floor (119182.5)     		ty = 119182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118555 / 119182 ti = "17/118555/119182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118555/119182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118555 ÷ 217
    118555 ÷ 131072     		x = 0.904502868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119182 ÷ 217
    119182 ÷ 131072     		y = 0.909286499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904502868652344 × 2 - 1) × π
    0.809005737304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.54156648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909286499023438 × 2 - 1) × π
    -0.818572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57162291701753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54156648} λ = 2.54156648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57162291701753))-π/2
    2×atan(0.0764114353222357)-π/2
    2×0.0762632394680044-π/2
    0.152526478936009-1.57079632675     		φ = -1.41826985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54156648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.621033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41826985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.260877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118555 KachelY 119182 2.54156648 -1.41826985 145.621033 -81.260877
    Oben rechts KachelX + 1 118556 KachelY 119182 2.54161442 -1.41826985 145.623779 -81.260877
    Unten links KachelX 118555 KachelY + 1 119183 2.54156648 -1.41827713 145.621033 -81.261294
    Unten rechts KachelX + 1 118556 KachelY + 1 119183 2.54161442 -1.41827713 145.623779 -81.261294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41826985--1.41827713) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dl = 46.3808800010508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41826985--1.41827713) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dr = 46.3808800010508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54156648-2.54161442) × cos(-1.41826985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151935760061969 × 6371000     		do = 46.4050919493587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54156648-2.54161442) × cos(-1.41827713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151928564576044 × 6371000     		du = 46.4028942627455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41826985)-sin(-1.41827713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151935760061969-0.151928564576044)×R²
    abs(2.54161442-2.54156648)×7.195485924677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.195485924677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.195485924677e-06×40589641000000     		ar = 2152.25803576061m²