Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118554 / 119226
↖ ↑ ↗
← S 81.279219°
E145.618286°		 ← 46.31 m → S 81.279219°
E145.621033°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.279635°
E145.618286°		 ← 46.31 m →
2 145 m²		 S 81.279635°
E145.621033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904499053955078 y=0.909626007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904499053955078 × 217)
    floor (0.904499053955078 × 131072)
    floor (118554.5)     		tx = 118554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909626007080078 × 217)
    floor (0.909626007080078 × 131072)
    floor (119226.5)     		ty = 119226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118554 / 119226 ti = "17/118554/119226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118554/119226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118554 ÷ 217
    118554 ÷ 131072     		x = 0.904495239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119226 ÷ 217
    119226 ÷ 131072     		y = 0.909622192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904495239257812 × 2 - 1) × π
    0.808990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54151854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909622192382812 × 2 - 1) × π
    -0.819244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57373214060081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54151854} λ = 2.54151854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57373214060081))-π/2
    2×atan(0.076250436371901)-π/2
    2×0.0761031731304005-π/2
    0.152206346260801-1.57079632675     		φ = -1.41858998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54151854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.618286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41858998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.279219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118554 KachelY 119226 2.54151854 -1.41858998 145.618286 -81.279219
    Oben rechts KachelX + 1 118555 KachelY 119226 2.54156648 -1.41858998 145.621033 -81.279219
    Unten links KachelX 118554 KachelY + 1 119227 2.54151854 -1.41859725 145.618286 -81.279635
    Unten rechts KachelX + 1 118555 KachelY + 1 119227 2.54156648 -1.41859725 145.621033 -81.279635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41858998--1.41859725) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41858998--1.41859725) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54151854-2.54156648) × cos(-1.41858998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151619338872581 × 6371000     		do = 46.3084487734384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54151854-2.54156648) × cos(-1.41859725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151612152917341 × 6371000     		du = 46.3062539977416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41858998)-sin(-1.41859725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151619338872581-0.151612152917341)×R²
    abs(2.54156648-2.54151854)×7.18595524015764e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18595524015764e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18595524015764e-06×40589641000000     		ar = 2144.82546636503m²