Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118552 / 119208
↖ ↑ ↗
← S 81.271720°
E145.612793°		 ← 46.35 m → S 81.271720°
E145.615540°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.272136°
E145.612793°		 ← 46.35 m →
2 147 m²		 S 81.272136°
E145.615540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904483795166016 y=0.909488677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904483795166016 × 217)
    floor (0.904483795166016 × 131072)
    floor (118552.5)     		tx = 118552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909488677978516 × 217)
    floor (0.909488677978516 × 131072)
    floor (119208.5)     		ty = 119208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118552 / 119208 ti = "17/118552/119208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118552/119208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118552 ÷ 217
    118552 ÷ 131072     		x = 0.90447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119208 ÷ 217
    119208 ÷ 131072     		y = 0.90948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90447998046875 × 2 - 1) × π
    0.8089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54142267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.8189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57286927640765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54142267} λ = 2.54142267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57286927640765))-π/2
    2×atan(0.0763162585368699)-π/2
    2×0.076168614482362-π/2
    0.152337228964724-1.57079632675     		φ = -1.41845910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54142267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41845910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.271720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118552 KachelY 119208 2.54142267 -1.41845910 145.612793 -81.271720
    Oben rechts KachelX + 1 118553 KachelY 119208 2.54147061 -1.41845910 145.615540 -81.271720
    Unten links KachelX 118552 KachelY + 1 119209 2.54142267 -1.41846637 145.612793 -81.272136
    Unten rechts KachelX + 1 118553 KachelY + 1 119209 2.54147061 -1.41846637 145.615540 -81.272136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41845910--1.41846637) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41845910--1.41846637) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54142267-2.54147061) × cos(-1.41845910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151748704464605 × 6371000     		do = 46.347960355113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54142267-2.54147061) × cos(-1.41846637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151741518653689 × 6371000     		du = 46.3457656234963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41845910)-sin(-1.41846637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151748704464605-0.151741518653689)×R²
    abs(2.54147061-2.54142267)×7.18581091657677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18581091657677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18581091657677e-06×40589641000000     		ar = 2146.65553198305m²