Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118548 / 119235
↖ ↑ ↗
← S 81.282966°
E145.601806°		 ← 46.29 m → S 81.282966°
E145.604553°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.283382°
E145.601806°		 ← 46.29 m →
2 141 m²		 S 81.283382°
E145.604553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904453277587891 y=0.909694671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904453277587891 × 217)
    floor (0.904453277587891 × 131072)
    floor (118548.5)     		tx = 118548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909694671630859 × 217)
    floor (0.909694671630859 × 131072)
    floor (119235.5)     		ty = 119235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118548 / 119235 ti = "17/118548/119235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118548/119235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118548 ÷ 217
    118548 ÷ 131072     		x = 0.904449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119235 ÷ 217
    119235 ÷ 131072     		y = 0.909690856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904449462890625 × 2 - 1) × π
    0.80889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54123092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909690856933594 × 2 - 1) × π
    -0.819381713867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.5741635726974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54123092} λ = 2.54123092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5741635726974))-π/2
    2×atan(0.0762175465816376)-π/2
    2×0.0760704733787185-π/2
    0.152140946757437-1.57079632675     		φ = -1.41865538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54123092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.601806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41865538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.282966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118548 KachelY 119235 2.54123092 -1.41865538 145.601806 -81.282966
    Oben rechts KachelX + 1 118549 KachelY 119235 2.54127886 -1.41865538 145.604553 -81.282966
    Unten links KachelX 118548 KachelY + 1 119236 2.54123092 -1.41866264 145.601806 -81.283382
    Unten rechts KachelX + 1 118549 KachelY + 1 119236 2.54127886 -1.41866264 145.604553 -81.283382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41865538--1.41866264) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41865538--1.41866264) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54123092-2.54127886) × cos(-1.41865538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151554694640445 × 6371000     		do = 46.2887047610015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54123092-2.54127886) × cos(-1.41866264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151547518497633 × 6371000     		du = 46.2865129822728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41865538)-sin(-1.41866264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151554694640445-0.151547518497633)×R²
    abs(2.54127886-2.54123092)×7.17614281200984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17614281200984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17614281200984e-06×40589641000000     		ar = 2140.96206550816m²