Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118547 / 119233
↖ ↑ ↗
← S 81.282133°
E145.599060°		 ← 46.28 m → S 81.282133°
E145.601806°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.282549°
E145.599060°		 ← 46.28 m →
2 141 m²		 S 81.282549°
E145.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904445648193359 y=0.909679412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904445648193359 × 217)
    floor (0.904445648193359 × 131072)
    floor (118547.5)     		tx = 118547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909679412841797 × 217)
    floor (0.909679412841797 × 131072)
    floor (119233.5)     		ty = 119233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118547 / 119233 ti = "17/118547/119233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118547/119233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118547 ÷ 217
    118547 ÷ 131072     		x = 0.904441833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119233 ÷ 217
    119233 ÷ 131072     		y = 0.909675598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904441833496094 × 2 - 1) × π
    0.808883666992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.54118299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909675598144531 × 2 - 1) × π
    -0.819351196289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.57406769889816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54118299} λ = 2.54118299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57406769889816))-π/2
    2×atan(0.076224854197696)-π/2
    2×0.0760777387851529-π/2
    0.152155477570306-1.57079632675     		φ = -1.41864085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54118299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.599060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41864085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.282133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118547 KachelY 119233 2.54118299 -1.41864085 145.599060 -81.282133
    Oben rechts KachelX + 1 118548 KachelY 119233 2.54123092 -1.41864085 145.601806 -81.282133
    Unten links KachelX 118547 KachelY + 1 119234 2.54118299 -1.41864811 145.599060 -81.282549
    Unten rechts KachelX + 1 118548 KachelY + 1 119234 2.54123092 -1.41864811 145.601806 -81.282549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41864085--1.41864811) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41864085--1.41864811) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54118299-2.54123092) × cos(-1.41864085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15156905678657 × 6371000     		do = 46.2834348655608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54118299-2.54123092) × cos(-1.41864811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151561880659746 × 6371000     		du = 46.2812435489062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41864085)-sin(-1.41864811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15156905678657-0.151561880659746)×R²
    abs(2.54123092-2.54118299)×7.17612682424318e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17612682424318e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17612682424318e-06×40589641000000     		ar = 2140.71832512127m²