Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118547 / 119169
↖ ↑ ↗
← S 81.255450°
E145.599060°		 ← 46.42 m → S 81.255450°
E145.601806°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.255867°
E145.599060°		 ← 46.42 m →
2 153 m²		 S 81.255867°
E145.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904445648193359 y=0.909191131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904445648193359 × 217)
    floor (0.904445648193359 × 131072)
    floor (118547.5)     		tx = 118547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909191131591797 × 217)
    floor (0.909191131591797 × 131072)
    floor (119169.5)     		ty = 119169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118547 / 119169 ti = "17/118547/119169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118547/119169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118547 ÷ 217
    118547 ÷ 131072     		x = 0.904441833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119169 ÷ 217
    119169 ÷ 131072     		y = 0.909187316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904441833496094 × 2 - 1) × π
    0.808883666992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.54118299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909187316894531 × 2 - 1) × π
    -0.818374633789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.57099973732247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54118299} λ = 2.54118299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57099973732247))-π/2
    2×atan(0.076459068217584)-π/2
    2×0.0763105956918181-π/2
    0.152621191383636-1.57079632675     		φ = -1.41817514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54118299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.599060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41817514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.255450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118547 KachelY 119169 2.54118299 -1.41817514 145.599060 -81.255450
    Oben rechts KachelX + 1 118548 KachelY 119169 2.54123092 -1.41817514 145.601806 -81.255450
    Unten links KachelX 118547 KachelY + 1 119170 2.54118299 -1.41818242 145.599060 -81.255867
    Unten rechts KachelX + 1 118548 KachelY + 1 119170 2.54123092 -1.41818242 145.601806 -81.255867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41817514--1.41818242) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41817514--1.41818242) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54118299-2.54123092) × cos(-1.41817514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152029369832403 × 6371000     		do = 46.4239969916718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54118299-2.54123092) × cos(-1.41818242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152022174451266 × 6371000     		du = 46.4217997954813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41817514)-sin(-1.41818242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152029369832403-0.152022174451266)×R²
    abs(2.54123092-2.54118299)×7.1953811366654e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.1953811366654e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.1953811366654e-06×40589641000000     		ar = 2153.13487947361m²