Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118540 / 119219
↖ ↑ ↗
← S 81.276303°
E145.579834°		 ← 46.31 m → S 81.276303°
E145.582580°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
S 81.276720°
E145.579834°		 ← 46.31 m →
2 148 m²		 S 81.276720°
E145.582580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904392242431641 y=0.909572601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904392242431641 × 217)
    floor (0.904392242431641 × 131072)
    floor (118540.5)     		tx = 118540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909572601318359 × 217)
    floor (0.909572601318359 × 131072)
    floor (119219.5)     		ty = 119219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118540 / 119219 ti = "17/118540/119219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118540/119219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118540 ÷ 217
    118540 ÷ 131072     		x = 0.904388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119219 ÷ 217
    119219 ÷ 131072     		y = 0.909568786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904388427734375 × 2 - 1) × π
    0.80877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54084743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909568786621094 × 2 - 1) × π
    -0.819137573242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.57339658230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54084743} λ = 2.54084743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57339658230347))-π/2
    2×atan(0.0762760271318572)-π/2
    2×0.0761286159130826-π/2
    0.152257231826165-1.57079632675     		φ = -1.41853909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54084743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41853909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.276303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118540 KachelY 119219 2.54084743 -1.41853909 145.579834 -81.276303
    Oben rechts KachelX + 1 118541 KachelY 119219 2.54089536 -1.41853909 145.582580 -81.276303
    Unten links KachelX 118540 KachelY + 1 119220 2.54084743 -1.41854637 145.579834 -81.276720
    Unten rechts KachelX + 1 118541 KachelY + 1 119220 2.54089536 -1.41854637 145.582580 -81.276720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41853909--1.41854637) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dl = 46.3808800010508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41853909--1.41854637) × R
    7.28000000016493e-06 × 6371000     		dr = 46.3808800010508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54084743-2.54089536) × cos(-1.41853909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151669640334862 × 6371000     		do = 46.3141492620517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54084743-2.54089536) × cos(-1.41854637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151662444551401 × 6371000     		du = 46.3119519430065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41853909)-sin(-1.41854637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151669640334862-0.151662444551401)×R²
    abs(2.54089536-2.54084743)×7.19578346111693e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.19578346111693e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.19578346111693e-06×40589641000000     		ar = 2148.0400423666m²