Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118533 / 119156
↖ ↑ ↗
← S 81.250020°
E145.560608°		 ← 46.46 m → S 81.250020°
E145.563355°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.250438°
E145.560608°		 ← 46.46 m →
2 161 m²		 S 81.250438°
E145.563355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904338836669922 y=0.909091949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904338836669922 × 217)
    floor (0.904338836669922 × 131072)
    floor (118533.5)     		tx = 118533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909091949462891 × 217)
    floor (0.909091949462891 × 131072)
    floor (119156.5)     		ty = 119156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118533 / 119156 ti = "17/118533/119156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118533/119156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118533 ÷ 217
    118533 ÷ 131072     		x = 0.904335021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119156 ÷ 217
    119156 ÷ 131072     		y = 0.909088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904335021972656 × 2 - 1) × π
    0.808670043945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.54051187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.81817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57037655762741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54051187} λ = 2.54051187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57037655762741))-π/2
    2×atan(0.0765067308060366)-π/2
    2×0.0763579810930119-π/2
    0.152715962186024-1.57079632675     		φ = -1.41808036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54051187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.560608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41808036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.250020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118533 KachelY 119156 2.54051187 -1.41808036 145.560608 -81.250020
    Oben rechts KachelX + 1 118534 KachelY 119156 2.54055981 -1.41808036 145.563355 -81.250020
    Unten links KachelX 118533 KachelY + 1 119157 2.54051187 -1.41808766 145.560608 -81.250438
    Unten rechts KachelX + 1 118534 KachelY + 1 119157 2.54055981 -1.41808766 145.563355 -81.250438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41808036--1.41808766) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41808036--1.41808766) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54051187-2.54055981) × cos(-1.41808036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152123047424446 × 6371000     		do = 46.4622943306362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54051187-2.54055981) × cos(-1.41808766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152115832380986 × 6371000     		du = 46.4600906706482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41808036)-sin(-1.41808766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152123047424446-0.152115832380986)×R²
    abs(2.54055981-2.54051187)×7.21504346032353e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21504346032353e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21504346032353e-06×40589641000000     		ar = 2160.83107922503m²