Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118507 / 119126
↖ ↑ ↗
← S 81.237476°
E145.489197°		 ← 46.53 m → S 81.237476°
E145.491944°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.237895°
E145.489197°		 ← 46.53 m →
2 164 m²		 S 81.237895°
E145.491944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904140472412109 y=0.908863067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904140472412109 × 217)
    floor (0.904140472412109 × 131072)
    floor (118507.5)     		tx = 118507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908863067626953 × 217)
    floor (0.908863067626953 × 131072)
    floor (119126.5)     		ty = 119126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118507 / 119126 ti = "17/118507/119126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118507/119126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118507 ÷ 217
    118507 ÷ 131072     		x = 0.904136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119126 ÷ 217
    119126 ÷ 131072     		y = 0.908859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904136657714844 × 2 - 1) × π
    0.808273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.53926551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908859252929688 × 2 - 1) × π
    -0.817718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56893845063881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53926551} λ = 2.53926551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56893845063881))-π/2
    2×atan(0.0766168348219853)-π/2
    2×0.0764674434725016-π/2
    0.152934886945003-1.57079632675     		φ = -1.41786144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53926551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41786144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.237476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118507 KachelY 119126 2.53926551 -1.41786144 145.489197 -81.237476
    Oben rechts KachelX + 1 118508 KachelY 119126 2.53931345 -1.41786144 145.491944 -81.237476
    Unten links KachelX 118507 KachelY + 1 119127 2.53926551 -1.41786874 145.489197 -81.237895
    Unten rechts KachelX + 1 118508 KachelY + 1 119127 2.53931345 -1.41786874 145.491944 -81.237895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41786144--1.41786874) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41786144--1.41786874) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53926551-2.53931345) × cos(-1.41786144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152339415890682 × 6371000     		do = 46.5283788295489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53926551-2.53931345) × cos(-1.41786874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152332201090499 × 6371000     		du = 46.5261752438641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41786144)-sin(-1.41786874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152339415890682-0.152332201090499)×R²
    abs(2.53931345-2.53926551)×7.21480018292531e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21480018292531e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21480018292531e-06×40589641000000     		ar = 2163.90455857174m²