Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118506 / 119127
↖ ↑ ↗
← S 81.237895°
E145.486450°		 ← 46.53 m → S 81.237895°
E145.489197°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.238313°
E145.486450°		 ← 46.52 m →
2 164 m²		 S 81.238313°
E145.489197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904132843017578 y=0.908870697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904132843017578 × 217)
    floor (0.904132843017578 × 131072)
    floor (118506.5)     		tx = 118506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908870697021484 × 217)
    floor (0.908870697021484 × 131072)
    floor (119127.5)     		ty = 119127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118506 / 119127 ti = "17/118506/119127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118506/119127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118506 ÷ 217
    118506 ÷ 131072     		x = 0.904129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119127 ÷ 217
    119127 ÷ 131072     		y = 0.908866882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904129028320312 × 2 - 1) × π
    0.808258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53921757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908866882324219 × 2 - 1) × π
    -0.817733764648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.56898638753843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53921757} λ = 2.53921757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56898638753843))-π/2
    2×atan(0.0766131621364945)-π/2
    2×0.0764637922193484-π/2
    0.152927584438697-1.57079632675     		φ = -1.41786874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53921757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41786874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.237895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118506 KachelY 119127 2.53921757 -1.41786874 145.486450 -81.237895
    Oben rechts KachelX + 1 118507 KachelY 119127 2.53926551 -1.41786874 145.489197 -81.237895
    Unten links KachelX 118506 KachelY + 1 119128 2.53921757 -1.41787604 145.486450 -81.238313
    Unten rechts KachelX + 1 118507 KachelY + 1 119128 2.53926551 -1.41787604 145.489197 -81.238313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41786874--1.41787604) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dl = 46.5082999988617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41786874--1.41787604) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dr = 46.5082999988617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53921757-2.53926551) × cos(-1.41786874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152332201090499 × 6371000     		do = 46.5261752438641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53921757-2.53926551) × cos(-1.41787604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152324986282199 × 6371000     		du = 46.5239716557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41786874)-sin(-1.41787604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152332201090499-0.152324986282199)×R²
    abs(2.53926551-2.53921757)×7.21480830051524e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21480830051524e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21480830051524e-06×40589641000000     		ar = 2163.80207344884m²