Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118504 / 119128
↖ ↑ ↗
← S 81.238313°
E145.480957°		 ← 46.52 m → S 81.238313°
E145.483704°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.238732°
E145.480957°		 ← 46.52 m →
2 167 m²		 S 81.238732°
E145.483704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904117584228516 y=0.908878326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904117584228516 × 217)
    floor (0.904117584228516 × 131072)
    floor (118504.5)     		tx = 118504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908878326416016 × 217)
    floor (0.908878326416016 × 131072)
    floor (119128.5)     		ty = 119128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118504 / 119128 ti = "17/118504/119128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118504/119128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118504 ÷ 217
    118504 ÷ 131072     		x = 0.90411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119128 ÷ 217
    119128 ÷ 131072     		y = 0.90887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90411376953125 × 2 - 1) × π
    0.8082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53912170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53912170} λ = 2.53912170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56903432443805))-π/2
    2×atan(0.0766094896270566)-π/2
    2×0.076460141139178-π/2
    0.152920282278356-1.57079632675     		φ = -1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53912170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118504 KachelY 119128 2.53912170 -1.41787604 145.480957 -81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 118505 KachelY 119128 2.53916964 -1.41787604 145.483704 -81.238313
    Unten links KachelX 118504 KachelY + 1 119129 2.53912170 -1.41788335 145.480957 -81.238732
    Unten rechts KachelX + 1 118505 KachelY + 1 119129 2.53916964 -1.41788335 145.483704 -81.238732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41787604--1.41788335) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dl = 46.5720100013038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41787604--1.41788335) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dr = 46.5720100013038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53912170-2.53916964) × cos(-1.41787604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 46.5239716557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53912170-2.53916964) × cos(-1.41788335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152317761582465 × 6371000     		du = 46.5217650464374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41787604)-sin(-1.41788335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152317761582465)×R²
    abs(2.53916964-2.53912170)×7.22469973399309e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22469973399309e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22469973399309e-06×40589641000000     		ar = 2166.66349013127m²