Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1185 / 997
↖ ↑ ↗
← N 79.391998°
W127.924805°		 ← 899.55 m → N 79.391998°
W127.880860°		 →
↑
899.90 m
↓
↑
899.90 m
↓
N 79.383905°
W127.924805°		 ← 900.23 m →
809 812 m²		 N 79.383905°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14471435546875 y=0.12176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14471435546875 × 213)
    floor (0.14471435546875 × 8192)
    floor (1185.5)     		tx = 1185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12176513671875 × 213)
    floor (0.12176513671875 × 8192)
    floor (997.5)     		ty = 997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1185 / 997 ti = "13/1185/997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1185/997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1185 ÷ 213
    1185 ÷ 8192     		x = 0.1446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 997 ÷ 213
    997 ÷ 8192     		y = 0.1217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23270904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1217041015625 × 2 - 1) × π
    0.756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37690323076086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23270904} λ = -2.23270904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37690323076086))-π/2
    2×atan(10.7714943290709)-π/2
    2×1.47822404353555-π/2
    2.95644808707109-1.57079632675     		φ = 1.38565176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23270904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.924805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38565176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.391998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1185 KachelY 997 -2.23270904 1.38565176 -127.924805 79.391998
    Oben rechts KachelX + 1 1186 KachelY 997 -2.23194205 1.38565176 -127.880860 79.391998
    Unten links KachelX 1185 KachelY + 1 998 -2.23270904 1.38551051 -127.924805 79.383905
    Unten rechts KachelX + 1 1186 KachelY + 1 998 -2.23194205 1.38551051 -127.880860 79.383905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38565176-1.38551051) × R
    0.000141249999999982 × 6371000     		dl = 899.903749999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38565176-1.38551051) × R
    0.000141249999999982 × 6371000     		dr = 899.903749999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23270904--2.23194205) × cos(1.38565176) × R
    0.000766990000000245 × 0.184088631548687 × 6371000     		do = 899.547862828228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23270904--2.23194205) × cos(1.38551051) × R
    0.000766990000000245 × 0.184227465699549 × 6371000     		du = 900.226274974838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38565176)-sin(1.38551051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184088631548687-0.184227465699549)×R²
    abs(-2.23194205--2.23270904)×0.000138834150861883×R²
    0.000766990000000245×0.000138834150861883×6371000²
    0.000766990000000245×0.000138834150861883×40589641000000     		ar = 809811.749229169m²