Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118498 / 119142
↖ ↑ ↗
← S 81.244169°
E145.464478°		 ← 46.48 m → S 81.244169°
E145.467224°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.244587°
E145.464478°		 ← 46.48 m →
2 162 m²		 S 81.244587°
E145.467224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904071807861328 y=0.908985137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904071807861328 × 217)
    floor (0.904071807861328 × 131072)
    floor (118498.5)     		tx = 118498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908985137939453 × 217)
    floor (0.908985137939453 × 131072)
    floor (119142.5)     		ty = 119142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118498 / 119142 ti = "17/118498/119142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118498/119142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118498 ÷ 217
    118498 ÷ 131072     		x = 0.904067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119142 ÷ 217
    119142 ÷ 131072     		y = 0.908981323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904067993164062 × 2 - 1) × π
    0.808135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.53883408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908981323242188 × 2 - 1) × π
    -0.817962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56970544103273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53883408} λ = 2.53883408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56970544103273))-π/2
    2×atan(0.0765580929757598)-π/2
    2×0.076409044175523-π/2
    0.152818088351046-1.57079632675     		φ = -1.41797824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53883408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.464478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41797824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.244169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118498 KachelY 119142 2.53883408 -1.41797824 145.464478 -81.244169
    Oben rechts KachelX + 1 118499 KachelY 119142 2.53888201 -1.41797824 145.467224 -81.244169
    Unten links KachelX 118498 KachelY + 1 119143 2.53883408 -1.41798554 145.464478 -81.244587
    Unten rechts KachelX + 1 118499 KachelY + 1 119143 2.53888201 -1.41798554 145.467224 -81.244587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41797824--1.41798554) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41797824--1.41798554) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53883408-2.53888201) × cos(-1.41797824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152223978113837 × 6371000     		do = 46.4834229715454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53883408-2.53888201) × cos(-1.41798554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152216763183816 × 6371000     		du = 46.4812198058678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41797824)-sin(-1.41798554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152223978113837-0.152216763183816)×R²
    abs(2.53888201-2.53883408)×7.21493002131535e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.21493002131535e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.21493002131535e-06×40589641000000     		ar = 2161.81374802146m²