Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118497 / 119141
↖ ↑ ↗
← S 81.243750°
E145.461731°		 ← 46.50 m → S 81.243750°
E145.464478°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.244169°
E145.461731°		 ← 46.49 m →
2 162 m²		 S 81.244169°
E145.464478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904064178466797 y=0.908977508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904064178466797 × 217)
    floor (0.904064178466797 × 131072)
    floor (118497.5)     		tx = 118497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908977508544922 × 217)
    floor (0.908977508544922 × 131072)
    floor (119141.5)     		ty = 119141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118497 / 119141 ti = "17/118497/119141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118497/119141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118497 ÷ 217
    118497 ÷ 131072     		x = 0.904060363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119141 ÷ 217
    119141 ÷ 131072     		y = 0.908973693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904060363769531 × 2 - 1) × π
    0.808120727539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.53878614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908973693847656 × 2 - 1) × π
    -0.817947387695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.56965750413311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53878614} λ = 2.53878614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56965750413311))-π/2
    2×atan(0.0765617630213424)-π/2
    2×0.076412692834772-π/2
    0.152825385669544-1.57079632675     		φ = -1.41797094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53878614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.461731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41797094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.243750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118497 KachelY 119141 2.53878614 -1.41797094 145.461731 -81.243750
    Oben rechts KachelX + 1 118498 KachelY 119141 2.53883408 -1.41797094 145.464478 -81.243750
    Unten links KachelX 118497 KachelY + 1 119142 2.53878614 -1.41797824 145.461731 -81.244169
    Unten rechts KachelX + 1 118498 KachelY + 1 119142 2.53883408 -1.41797824 145.464478 -81.244169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41797094--1.41797824) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41797094--1.41797824) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53878614-2.53883408) × cos(-1.41797094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152231193035747 × 6371000     		do = 46.4953247839953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53878614-2.53883408) × cos(-1.41797824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152223978113837 × 6371000     		du = 46.4931211611321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41797094)-sin(-1.41797824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152231193035747-0.152223978113837)×R²
    abs(2.53883408-2.53878614)×7.21492190930428e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21492190930428e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21492190930428e-06×40589641000000     		ar = 2162.36727027832m²