Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11845 / 13886
↖ ↑ ↗
← N 26.450902°
W 49.866943°		 ← 1 093.75 m → N 26.450902°
W 49.855957°		 →
↑
1 093.77 m
↓
↑
1 093.77 m
↓
N 26.441065°
W 49.866943°		 ← 1 093.85 m →
1 196 370 m²		 N 26.441065°
W 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361495971679688 y=0.423782348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361495971679688 × 215)
    floor (0.361495971679688 × 32768)
    floor (11845.5)     		tx = 11845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423782348632812 × 215)
    floor (0.423782348632812 × 32768)
    floor (13886.5)     		ty = 13886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11845 / 13886 ti = "15/11845/13886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11845/13886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11845 ÷ 215
    11845 ÷ 32768     		x = 0.361480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13886 ÷ 215
    13886 ÷ 32768     		y = 0.42376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.27703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87034235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87034235} λ = -0.87034235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478985501003601))-π/2
    2×atan(1.61443572769113)-π/2
    2×1.01622583035441-π/2
    2.03245166070882-1.57079632675     		φ = 0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87034235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11845 KachelY 13886 -0.87034235 0.46165533 -49.866943 26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 11846 KachelY 13886 -0.87015060 0.46165533 -49.855957 26.450902
    Unten links KachelX 11845 KachelY + 1 13887 -0.87034235 0.46148365 -49.866943 26.441065
    Unten rechts KachelX + 1 11846 KachelY + 1 13887 -0.87015060 0.46148365 -49.855957 26.441065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46165533-0.46148365) × R
    0.000171679999999952 × 6371000     		dl = 1093.77327999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46165533-0.46148365) × R
    0.000171679999999952 × 6371000     		dr = 1093.77327999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87034235--0.87015060) × cos(0.46165533) × R
    0.000191750000000046 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 1093.75364270024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87034235--0.87015060) × cos(0.46148365) × R
    0.000191750000000046 × 0.895392847955311 × 6371000     		du = 1093.84704723175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46165533)-sin(0.46148365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895392847955311)×R²
    abs(-0.87015060--0.87034235)×7.64583583223732e-05×R²
    0.000191750000000046×7.64583583223732e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.64583583223732e-05×40589641000000     		ar = 1196369.59391637m²