Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118430 / 118498
↖ ↑ ↗
← S 80.970766°
E145.277710°		 ← 47.93 m → S 80.970766°
E145.280457°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.971197°
E145.277710°		 ← 47.93 m →
2 296 m²		 S 80.971197°
E145.280457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903553009033203 y=0.904071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903553009033203 × 217)
    floor (0.903553009033203 × 131072)
    floor (118430.5)     		tx = 118430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904071807861328 × 217)
    floor (0.904071807861328 × 131072)
    floor (118498.5)     		ty = 118498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118430 / 118498 ti = "17/118430/118498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118430/118498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118430 ÷ 217
    118430 ÷ 131072     		x = 0.903549194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118498 ÷ 217
    118498 ÷ 131072     		y = 0.904067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903549194335938 × 2 - 1) × π
    0.807098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53557437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.808135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53883407767741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53557437} λ = 2.53557437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53883407767741))-π/2
    2×atan(0.0789584055120325)-π/2
    2×0.078794929705987-π/2
    0.157589859411974-1.57079632675     		φ = -1.41320647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53557437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.277710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41320647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.970766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118430 KachelY 118498 2.53557437 -1.41320647 145.277710 -80.970766
    Oben rechts KachelX + 1 118431 KachelY 118498 2.53562231 -1.41320647 145.280457 -80.970766
    Unten links KachelX 118430 KachelY + 1 118499 2.53557437 -1.41321399 145.277710 -80.971197
    Unten rechts KachelX + 1 118431 KachelY + 1 118499 2.53562231 -1.41321399 145.280457 -80.971197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41320647--1.41321399) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41320647--1.41321399) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53557437-2.53562231) × cos(-1.41320647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156938387066058 × 6371000     		do = 47.9330230040257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53557437-2.53562231) × cos(-1.41321399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156930960246487 × 6371000     		du = 47.9307546621624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41320647)-sin(-1.41321399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156938387066058-0.156930960246487)×R²
    abs(2.53562231-2.53557437)×7.42681957086044e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42681957086044e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42681957086044e-06×40589641000000     		ar = 2296.41295954818m²