Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11843 / 13883
↖ ↑ ↗
← N 26.480407°
W 49.888916°		 ← 1 093.42 m → N 26.480407°
W 49.877930°		 →
↑
1 093.52 m
↓
↑
1 093.52 m
↓
N 26.470573°
W 49.888916°		 ← 1 093.51 m →
1 195 722 m²		 N 26.470573°
W 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361434936523438 y=0.423690795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361434936523438 × 215)
    floor (0.361434936523438 × 32768)
    floor (11843.5)     		tx = 11843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423690795898438 × 215)
    floor (0.423690795898438 × 32768)
    floor (13883.5)     		ty = 13883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11843 / 13883 ti = "15/11843/13883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11843/13883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11843 ÷ 215
    11843 ÷ 32768     		x = 0.361419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13883 ÷ 215
    13883 ÷ 32768     		y = 0.423675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87072584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    0.15264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.479560743799042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87072584} λ = -0.87072584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479560743799042))-π/2
    2×atan(1.61536468737525)-π/2
    2×1.01648330950544-π/2
    2.03296661901089-1.57079632675     		φ = 0.46217029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87072584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46217029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.480407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11843 KachelY 13883 -0.87072584 0.46217029 -49.888916 26.480407
    Oben rechts KachelX + 1 11844 KachelY 13883 -0.87053410 0.46217029 -49.877930 26.480407
    Unten links KachelX 11843 KachelY + 1 13884 -0.87072584 0.46199865 -49.888916 26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 11844 KachelY + 1 13884 -0.87053410 0.46199865 -49.877930 26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46217029-0.46199865) × R
    0.000171639999999973 × 6371000     		dl = 1093.51843999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46217029-0.46199865) × R
    0.000171639999999973 × 6371000     		dr = 1093.51843999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87072584--0.87053410) × cos(0.46217029) × R
    0.000191739999999996 × 0.895086891870931 × 6371000     		do = 1093.41625328413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87072584--0.87053410) × cos(0.46199865) × R
    0.000191739999999996 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 1093.50972784801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46217029)-sin(0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895086891870931-0.895163411546397)×R²
    abs(-0.87053410--0.87072584)×7.65196754665132e-05×R²
    0.000191739999999996×7.65196754665132e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.65196754665132e-05×40589641000000     		ar = 1195721.94657723m²