Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118426 / 119907
↖ ↑ ↗
← S 81.558283°
E145.266724°		 ← 44.84 m → S 81.558283°
E145.269470°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.558686°
E145.266724°		 ← 44.84 m →
2 011 m²		 S 81.558686°
E145.269470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903522491455078 y=0.914821624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903522491455078 × 217)
    floor (0.903522491455078 × 131072)
    floor (118426.5)     		tx = 118426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914821624755859 × 217)
    floor (0.914821624755859 × 131072)
    floor (119907.5)     		ty = 119907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118426 / 119907 ti = "17/118426/119907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118426/119907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118426 ÷ 217
    118426 ÷ 131072     		x = 0.903518676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119907 ÷ 217
    119907 ÷ 131072     		y = 0.914817810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903518676757812 × 2 - 1) × π
    0.807037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53538262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914817810058594 × 2 - 1) × π
    -0.829635620117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.60637716924207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53538262} λ = 2.53538262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60637716924207))-π/2
    2×atan(0.0738014301201189)-π/2
    2×0.0736678760893016-π/2
    0.147335752178603-1.57079632675     		φ = -1.42346057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53538262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.266724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42346057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.558283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118426 KachelY 119907 2.53538262 -1.42346057 145.266724 -81.558283
    Oben rechts KachelX + 1 118427 KachelY 119907 2.53543056 -1.42346057 145.269470 -81.558283
    Unten links KachelX 118426 KachelY + 1 119908 2.53538262 -1.42346761 145.266724 -81.558686
    Unten rechts KachelX + 1 118427 KachelY + 1 119908 2.53543056 -1.42346761 145.269470 -81.558686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42346057--1.42346761) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dl = 44.851840000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42346057--1.42346761) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dr = 44.851840000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53538262-2.53543056) × cos(-1.42346057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146803278594343 × 6371000     		do = 44.837499999074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53538262-2.53543056) × cos(-1.42346761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146796314864123 × 6371000     		du = 44.8353730966183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42346057)-sin(-1.42346761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146803278594343-0.146796314864123)×R²
    abs(2.53543056-2.53538262)×6.9637302204939e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9637302204939e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9637302204939e-06×40589641000000     		ar = 2010.99667828813m²