Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11842 / 14159
↖ ↑ ↗
← N 23.735069°
W 49.899902°		 ← 1 118.31 m → N 23.735069°
W 49.888916°		 →
↑
1 118.37 m
↓
↑
1 118.37 m
↓
N 23.725012°
W 49.899902°		 ← 1 118.39 m →
1 250 726 m²		 N 23.725012°
W 49.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361404418945312 y=0.432113647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361404418945312 × 215)
    floor (0.361404418945312 × 32768)
    floor (11842.5)     		tx = 11842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432113647460938 × 215)
    floor (0.432113647460938 × 32768)
    floor (14159.5)     		ty = 14159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11842 / 14159 ti = "15/11842/14159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11842/14159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11842 ÷ 215
    11842 ÷ 32768     		x = 0.36138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14159 ÷ 215
    14159 ÷ 32768     		y = 0.432098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36138916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432098388671875 × 2 - 1) × π
    0.13580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.4266384066185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87091759} λ = -0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4266384066185))-π/2
    2×atan(1.53209856485032)-π/2
    2×0.992525716159867-π/2
    1.98505143231973-1.57079632675     		φ = 0.41425511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41425511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.735069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11842 KachelY 14159 -0.87091759 0.41425511 -49.899902 23.735069
    Oben rechts KachelX + 1 11843 KachelY 14159 -0.87072584 0.41425511 -49.888916 23.735069
    Unten links KachelX 11842 KachelY + 1 14160 -0.87091759 0.41407957 -49.899902 23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 11843 KachelY + 1 14160 -0.87072584 0.41407957 -49.888916 23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41425511-0.41407957) × R
    0.000175539999999974 × 6371000     		dl = 1118.36533999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41425511-0.41407957) × R
    0.000175539999999974 × 6371000     		dr = 1118.36533999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87091759--0.87072584) × cos(0.41425511) × R
    0.000191750000000046 × 0.915416398732885 × 6371000     		do = 1118.30860278601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87091759--0.87072584) × cos(0.41407957) × R
    0.000191750000000046 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 1118.39490204296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41425511)-sin(0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915416398732885-0.915487040910553)×R²
    abs(-0.87072584--0.87091759)×7.06421776675015e-05×R²
    0.000191750000000046×7.06421776675015e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.06421776675015e-05×40589641000000     		ar = 1250725.84104013m²