Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11841 / 5822
↖ ↑ ↗
← N 81.362937°
W114.955445°		 ← 91.73 m → N 81.362937°
W114.949951°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 81.362113°
W114.955445°		 ← 91.74 m →
8 411 m²		 N 81.362113°
W114.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.180686950683594 y=0.0888442993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.180686950683594 × 216)
    floor (0.180686950683594 × 65536)
    floor (11841.5)     		tx = 11841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888442993164062 × 216)
    floor (0.0888442993164062 × 65536)
    floor (5822.5)     		ty = 5822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11841 / 5822 ti = "16/11841/5822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11841/5822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11841 ÷ 216
    11841 ÷ 65536     		x = 0.180679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5822 ÷ 216
    5822 ÷ 65536     		y = 0.088836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.180679321289062 × 2 - 1) × π
    -0.638641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.00635100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088836669921875 × 2 - 1) × π
    0.82232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58341539432407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00635100} λ = -2.00635100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58341539432407))-π/2
    2×atan(13.2422886498971)-π/2
    2×1.49542373577437-π/2
    2.99084747154875-1.57079632675     		φ = 1.42005114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00635100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.955445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42005114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.362937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11841 KachelY 5822 -2.00635100 1.42005114 -114.955445 81.362937
    Oben rechts KachelX + 1 11842 KachelY 5822 -2.00625512 1.42005114 -114.949951 81.362937
    Unten links KachelX 11841 KachelY + 1 5823 -2.00635100 1.42003675 -114.955445 81.362113
    Unten rechts KachelX + 1 11842 KachelY + 1 5823 -2.00625512 1.42003675 -114.949951 81.362113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42005114-1.42003675) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42005114-1.42003675) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00635100--2.00625512) × cos(1.42005114) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150174910064113 × 6371000     		do = 91.7345660714703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00635100--2.00625512) × cos(1.42003675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150189136857965 × 6371000     		du = 91.7432565295502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42005114)-sin(1.42003675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150174910064113-0.150189136857965)×R²
    abs(-2.00625512--2.00635100)×1.42267938514629e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42267938514629e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42267938514629e-05×40589641000000     		ar = 8410.50321008624m²