Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11841 / 13889
↖ ↑ ↗
← N 26.421390°
W 49.910889°		 ← 1 094.03 m → N 26.421390°
W 49.899902°		 →
↑
1 094.03 m
↓
↑
1 094.03 m
↓
N 26.411551°
W 49.910889°		 ← 1 094.13 m →
1 196 955 m²		 N 26.411551°
W 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361373901367188 y=0.423873901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361373901367188 × 215)
    floor (0.361373901367188 × 32768)
    floor (11841.5)     		tx = 11841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423873901367188 × 215)
    floor (0.423873901367188 × 32768)
    floor (13889.5)     		ty = 13889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11841 / 13889 ti = "15/11841/13889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11841/13889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11841 ÷ 215
    11841 ÷ 32768     		x = 0.361358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13889 ÷ 215
    13889 ÷ 32768     		y = 0.423858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423858642578125 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47841025820816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87110934} λ = -0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47841025820816))-π/2
    2×atan(1.6135073022307)-π/2
    2×1.01596828522082-π/2
    2.03193657044165-1.57079632675     		φ = 0.46114024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46114024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.421390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11841 KachelY 13889 -0.87110934 0.46114024 -49.910889 26.421390
    Oben rechts KachelX + 1 11842 KachelY 13889 -0.87091759 0.46114024 -49.899902 26.421390
    Unten links KachelX 11841 KachelY + 1 13890 -0.87110934 0.46096852 -49.910889 26.411551
    Unten rechts KachelX + 1 11842 KachelY + 1 13890 -0.87091759 0.46096852 -49.899902 26.411551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46114024-0.46096852) × R
    0.000171719999999986 × 6371000     		dl = 1094.02811999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46114024-0.46096852) × R
    0.000171719999999986 × 6371000     		dr = 1094.02811999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87110934--0.87091759) × cos(0.46114024) × R
    0.000191749999999935 × 0.895545707745694 × 6371000     		do = 1094.0337867508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87110934--0.87091759) × cos(0.46096852) × R
    0.000191749999999935 × 0.895622104709715 × 6371000     		du = 1094.12711628063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46114024)-sin(0.46096852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895545707745694-0.895622104709715)×R²
    abs(-0.87091759--0.87110934)×7.63969640212858e-05×R²
    0.000191749999999935×7.63969640212858e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.63969640212858e-05×40589641000000     		ar = 1196954.78244145m²