Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118404 / 119940
↖ ↑ ↗
← S 81.571578°
E145.206299°		 ← 44.77 m → S 81.571578°
E145.209046°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.571981°
E145.206299°		 ← 44.77 m →
2 005 m²		 S 81.571981°
E145.209046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903354644775391 y=0.915073394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903354644775391 × 217)
    floor (0.903354644775391 × 131072)
    floor (118404.5)     		tx = 118404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915073394775391 × 217)
    floor (0.915073394775391 × 131072)
    floor (119940.5)     		ty = 119940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118404 / 119940 ti = "17/118404/119940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118404/119940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118404 ÷ 217
    118404 ÷ 131072     		x = 0.903350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119940 ÷ 217
    119940 ÷ 131072     		y = 0.915069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903350830078125 × 2 - 1) × π
    0.80670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53432801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.83013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60795908692953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53432801} λ = 2.53432801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60795908692953))-π/2
    2×atan(0.0736847746264735)-π/2
    2×0.0735518515425085-π/2
    0.147103703085017-1.57079632675     		φ = -1.42369262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53432801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42369262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.571578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118404 KachelY 119940 2.53432801 -1.42369262 145.206299 -81.571578
    Oben rechts KachelX + 1 118405 KachelY 119940 2.53437595 -1.42369262 145.209046 -81.571578
    Unten links KachelX 118404 KachelY + 1 119941 2.53432801 -1.42369965 145.206299 -81.571981
    Unten rechts KachelX + 1 118405 KachelY + 1 119941 2.53437595 -1.42369965 145.209046 -81.571981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42369262--1.42369965) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42369262--1.42369965) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53432801-2.53437595) × cos(-1.42369262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146573738741446 × 6371000     		do = 44.7673926196435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53432801-2.53437595) × cos(-1.42369965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146566784663604 × 6371000     		du = 44.7652686652726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42369262)-sin(-1.42369965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146573738741446-0.146566784663604)×R²
    abs(2.53437595-2.53432801)×6.95407784212509e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.95407784212509e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.95407784212509e-06×40589641000000     		ar = 2005.00023657167m²