Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11840 / 13888
↖ ↑ ↗
← N 26.431228°
W 49.921875°		 ← 1 093.94 m → N 26.431228°
W 49.910889°		 →
↑
1 094.03 m
↓
↑
1 094.03 m
↓
N 26.421390°
W 49.921875°		 ← 1 094.03 m →
1 196 853 m²		 N 26.421390°
W 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361343383789062 y=0.423843383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361343383789062 × 215)
    floor (0.361343383789062 × 32768)
    floor (11840.5)     		tx = 11840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423843383789062 × 215)
    floor (0.423843383789062 × 32768)
    floor (13888.5)     		ty = 13888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11840 / 13888 ti = "15/11840/13888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11840/13888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11840 ÷ 215
    11840 ÷ 32768     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13888 ÷ 215
    13888 ÷ 32768     		y = 0.423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423828125 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478602005806641))-π/2
    2×atan(1.61381671804495)-π/2
    2×1.01605414092691-π/2
    2.03210828185381-1.57079632675     		φ = 0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11840 KachelY 13888 -0.87130109 0.46131196 -49.921875 26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 11841 KachelY 13888 -0.87110934 0.46131196 -49.910889 26.431228
    Unten links KachelX 11840 KachelY + 1 13889 -0.87130109 0.46114024 -49.921875 26.421390
    Unten rechts KachelX + 1 11841 KachelY + 1 13889 -0.87110934 0.46114024 -49.910889 26.421390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46131196-0.46114024) × R
    0.000171720000000042 × 6371000     		dl = 1094.02812000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46131196-0.46114024) × R
    0.000171720000000042 × 6371000     		dr = 1094.02812000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(0.46131196) × R
    0.000191750000000046 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 1093.940424961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.87110934) × cos(0.46114024) × R
    0.000191750000000046 × 0.895545707745694 × 6371000     		du = 1094.03378675143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46131196)-sin(0.46114024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.895545707745694)×R²
    abs(-0.87110934--0.87130109)×7.64233716565865e-05×R²
    0.000191750000000046×7.64233716565865e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.64233716565865e-05×40589641000000     		ar = 1196852.6596657m²